Giải bài tập Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (Chân trời)
============
Giải bài 1 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16
b) Hypebol có tiêu cự \(2c = 20\) và độ dài trục thực \(2a = 12\)
c) Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\)
Phương pháp giải
a) Bước 1: Từ giải thiết xác định a, b, c
Bước 2: Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(M(x;y) \in (E);b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)
b) Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(M(x;y) \in (H);b = \sqrt {{c^2} – {a^2}} \)
c) Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\) với \(M(x;y) \in
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(2a = 20 \Rightarrow a = 10,2c = 16 \Rightarrow c = 8\), suy ra \(b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {8^2}} = 6\)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
b) Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6,2c = 20 \Rightarrow c = 10\), suy ra \(b = \sqrt {{c^2} – {a^2}} = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}} = 8\)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{100}} – \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
c) Ta có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\) suy ra \(p = 1\)
Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 2x\)
Giải bài 2 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng
a) \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\)
b) \(({C_2}):16{x^2} – 4{y^2} = 144\)
c) \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\)
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định dạng phương trình của đường conic nào
+) Có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) là dạng đường elip
+) Có dạng \(a{x^2} – b{y^2} = 1\) là dạng đường hypebol
+) Có dạng \({y^2} = ax\) là dạng đường parabol
Bước 2: Đưa về phương trình chính tắc và tìm tọa độ biết phương trình chính tắc có dạng
+) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là đường elip
+) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là đường hypebol
+) \({y^2} = 2px\) là đường parabol
Bước 3: Xác định tiêu điểm của các đường conic
+) Elip: \({F_1}\left( { – c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)
+) Hypebol: \({F_1}\left( { – c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\)
+) Parabol: \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} + b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) là phương trình của đường elip
Từ phương trình \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1\)
Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
Suy ra tiêu điểm của elip này là \({F_1}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\) và \({F_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4};0} \right)\)
b) Ta thấy phương trình có dạng \(a{x^2} – b{y^2} = 1\) nên phương trình \(({C_2}):16{x^2} – 4{y^2} = 144\) là phương trình của đường hypebol
Từ phương trình \(({C_2}):16{x^2} – 4{y^2} = 144\) ta có phương trình chính tắc là \(({C_1}):\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Từ phương trình chính tắc ta có: \(a = 3,b = 4 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)
Suy ra tiêu điểm của hypebol này là \({F_1}\left( { – 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;0} \right)\)
c) Phương trình \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\) có dạng \({y^2} = ax\) nên phương trình này là phương trình của parabol
Ta có phương trình chính tắc là \({y^2} = 8x\)
Từ phương trình chính tắc ta có: \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\)
Suy ra tiêu điểm là \(F(2;0)\)
Giải bài 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình Elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước là 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị
– Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện
– Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh trên 2 điểm đó trên tấm ván.
– Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong hình 15).
Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa bao nhiêu xentimets và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Phương pháp giải
Bước 1: Từ giả thiết xác định a, c
Bước 2: Xác định vị trí đinh cách mép biết được tính bằng \(a – c\)
Bước 3: Xác định chiều dài vòng dây, biết chiều dài vòng dây là \(2a + 2c\)
Lời giải chi tiết
Từ giải thiết ta có: \(2a = 80 \Rightarrow a = 40,2c = 40 \Rightarrow c = 20\)
Suy ra vị trí đinh cách mép là \(a – c = 40 – 20 = 20\) cm
Chiều dài vòng dây là \(2a + 2c = 2.40 + 2.20 = 120\) cm
Vậy phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa 20 cm và lấy vòng dây có độ dài là 120 cm
Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (hình 16)
a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên
b) Tính khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm
Phương pháp giải
a) Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm
Bước 2: Viết phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(M(x;y) \in (E);b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} \)
b) Bước 1: Từ dữ kiện cách chân tường 5 m, xác định cách gốc tạo độ bao nhiêu (x=?)
Bước 2: Thay x vừa tìm được vào phương trình chính tắc tìm y
Lời giải chi tiết
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng
Nhà vòm có dạng elip nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (với a,b>0)
Ta có chiều cao 8 m nên \(OA = h = 5\), chiều rộng của vòm là 20 m, suy ra \(BC = 2OB = 20 \Rightarrow OB = 10\)
Từ đó ta có tọa độ các điểm: \(C(10;0),A(0;5)\)
Thay hai điểm đó vào phương trinh chính tắc ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 5\end{array} \right.\)
Suy ra, phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
b) Điểm đó cách chân tưởng 5 m tương ứng cách tâm 5 m (vì từ tâm vòm đến tưởng là 10 m)
Thay \(x = 5\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\), ta tìm được \(y = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\) m
Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) (hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định khoảng cách từ tâm đến đỉnh tháp và đáy tháp
Bước 2: Từ kết quả vừa tìm thay vào phương trình hypebol y bằng kết quả đó tìm x (Chỉ lấy kết quả dương)
Lời giải chi tiết
Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là z
Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là \(\frac{2}{3}z\)
Ta có \(z + \frac{2}{3}z = 150 \Rightarrow z = 90\)
Thay \(y = 90\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 4\sqrt {274} \)
Thay \(y = 60\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 4\sqrt {149} \)
Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là \(4\sqrt {149} \) m và \(4\sqrt {274} \)m
Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Một cái cầu có dây cáp treo như hình vẽ parabol, cầu dài 100 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30m, thanh ngắn nhất là 6m (hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m
Phương pháp giải
Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ tại điểm giữa cầu
Bước 2: Xác định phương trình mô tả hình dạng của cầu
Bước 3: Thay giả thiết vào phương trình vừa tìm được để tìm chiều dài thanh treo cầu
Lời giải chi tiết
Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ tại điểm trên của thanh ngắn giữa cầu, trục tung tương ứng là mặt đường của cầu, vẽ lại hình như dưới đây
Ta nhận thấy cầu có dạng parabol nên gọi phương trình mô tả hình dạng cầu là \({y^2} = 2px\)
Cầu dài 100 m tương ứng \(AB = 2OB = 100 \Rightarrow OB = 50\), thanh dài nhất dài 30 m
Từ đó ta có tọa độ điểm \(C(24;50)\)
Thay tọa độ C vào phương trình \({y^2} = 2px\) ta có \(2500 = 2p.24 \Rightarrow p = \frac{{625}}{{12}}\)
Ta có phương trình mô tả cây cầu là \({y^2} = \frac{{625}}{6}x\)
Tại thanh cách điểm giữa cầu 18m thì \(x = 18\) ta có \({18^2} = \frac{{625}}{6}.x \Rightarrow x \approx 3,11\)
Vậy chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m gần bằng 3,11 m
Trả lời