Giải bài tập Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (Chân trời)
————-
Giải bài 1 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm \(A( – 1;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (2;1)\)
b) d đi qua điểm \(B(4; – 2)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3; – 2)\)
c) d đi qua \(P(1;1)\) và có hệ số góc \(k = – 2\)
d) d đi qua hai điểm \(Q(3;0)\)và \(R(0;2)\)
Phương pháp giải
+ Phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
+ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}
\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A( – 1;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\), nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n = \left( {1; – 2} \right)\) và đi qua \(A( – 1;5)\)
Ta có phương trình tổng quát là
\((x + 1) – 2(y – 5) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 11 = 0\)
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; – 2} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\), và đi qua điểm \(B(4; – 2)\) nên ta có phương trình tham số của \(d\) là :
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = – 2 + 3t\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(4; – 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; – 2} \right)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
\((x – 4) – 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 8 = 0\)
c) Đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\)
d đi qua \(P(1;1)\) và có hệ số góc \(k = – 2\) nên ta có:
\(1 = – 2.1 + b \Rightarrow b = 3\)
Suy ra đồ thị đường thẳng d có dạng \(y = – 2x + 3\)
Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là \(y + 2x – 3 = 0\)
Suy ra đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\), nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; – 1} \right)\) và đi qua điểm \(P(1;1)\) nên ta có phương trình tham số của d là :
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 – t\end{array} \right.\)
d) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(Q(3;0)\)và \(R(0;2)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \overrightarrow {QR} = ( – 3;2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2;3)\)
Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – 3t\\y = 2t\end{array} \right.\)
Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(2(x – 3) + 3(x – 0) = \Leftrightarrow 2x + 3y – 6 = 0\)
Giải bài 2 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác ABC biết \(A(2;5),B(1;2)\) và \(C(5;4)\)
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC
b) Lập phương trình tham số của đường trung tuyến AM
c) Lập phương trình của đường cao AH
Phương pháp giải
+ Phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
+ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}
\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;2} \right)\) \(\Rightarrow VTPT: \overrightarrow {n_{BC}} = \left( {2; – 4} \right)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua điểm \(B(1;2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {2; – 4} \right)\) làm VTPT là:
\(2\left( {x – 1} \right) – 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 4y + 6 = 0\)
b) M là trung điểm của BC nên ta có tọa độ điểm M là \(M\left( {3;3} \right)\)
Đường thẳng AM đi qua điểm \(A\left( {2;5} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {1; – 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của trung tuyến AM là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 – 2t\end{array} \right.\)
c) Ta có: \(AH \bot BC\) nên đường cao AH nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến
Đường thẳng AH đi qua \(A\left( {2;5} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, suy ta phương trình tổng quát của đường cao AH là:
\(4\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y – 18 = 0\)
Giải bài 3 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua \(A(2;1)\) và song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\)
b) \(\Delta \)đi qua \(B( – 1;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(2x – y – 2 = 0\)
Phương pháp giải
Bước 1: Từ đường thẳng đã cho xác định vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương
Bước 2: Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số
Lời giải chi tiết
a) \(\Delta \) song song với đường thẳng \(3x + y + 9 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\)
\(\Delta \) đi qua điểm \(A(2;1)\) nên ta có phương trình tổng quát
\(3\left( {x – 2} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y – 7 = 0\)
\(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; – 3} \right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 – 3t\end{array} \right.\)
b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(2x – y – 2 = 0\) nên nhận vectơ pháp tuyến của đường thẳng này làm vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; – 1} \right)\)
\(\Delta \) đi qua điểm \(B( – 1;4)\) nên ta có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 4 – t\end{array} \right.\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; – 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \)là:
\(\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y – 7 = 0\)
Giải bài 4 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) sau đây:
a) \({d_1}:x – y + 2 = 0\) và \({d_2}:x + y + 4 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) và \({d_2}:5x – 2y + 9 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:3x + y – 11 = 0\)
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định cặp vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng: \((a_1; b_1) \, \rm{và}\, (a_2; b_2) \)
Bước 2:
+) Nếu 2 vecto cùng phương: Lấy điểm A thuộc d1. Kiểm tra A có thuộc d2 hay không.
=> KL: 2 đường thẳng song song nếu A không thuộc d2.
2 đường thẳng trùng nhau nếu A thuộc d
a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + ( – 1).1 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x – y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 3\\y = – 1\end{array} \right.\)
Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { – 3; – 1} \right)\)
b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; – 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; – 2} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;3)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(5.1 – 2.3 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_2}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song
c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1} \right)\)
Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(2;5)\) thuộc \({d_1}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_2}\), ta được \(3.2 + 5 – 11 = 0\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_2}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trùng nhau.
+) Nếu 2 vecto không cùng phương: Tính tích vô hướng
Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc, nếu khác 0 thì 2 đường thẳng chỉ cắt nhau.
=> Giải hệ phương trình từ hai đường thẳng để tìm giao điểm
Lời giải chi tiết
Giải bài 5 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\)
Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ
Phương pháp giải
+) A là giao của d với Ox => A(a;0) thuộc d.
+) A là giao của d với Oy => A(0;a’) thuộc d.
Lời giải chi tiết
+) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục tung
Suy ra tọa độ của A là: \(A\left( {0;y} \right)\)
Thay \(x = 0\) vào phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 2 – t\\y = 5 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\y = 11\end{array} \right.\)
Vậy giao điểm của d với trục tung là \(A\left( {0;11} \right)\)
+) Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với trục hoành
Suy ra tọa độ của B là: \(B\left( {x;0} \right)\)
Thay \(y = 0\) vào phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\0 = 5 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{3}\\t = – \frac{5}{3}\end{array} \right.\)
Vậy giao điểm của d với trục hoành là \(B\left( {\frac{{11}}{3};0} \right)\)
Giải bài 6 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x – 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:3x – y – 11 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 5y – 5 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 7 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – 9 + 2t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định 2 vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng đã cho: \((a_1;b_1), (a_2;b_2)\)
Bước 2: Tính cos góc giữa hai đường thẳng bằng công thức \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\) => suy ra góc giữa 2 đt.
Lời giải chi tiết
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; – 1} \right)\)
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { – 2} \right).( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; – 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;5} \right)\)
Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 5.1 + ( – 1).5 = 0\)
Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)
c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; 4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2} \right)\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1+4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{ { 4} }^2}} \sqrt {{1^2} + {{{ 2}}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 0^\circ \)
Giải bài 7 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) \(M(1;2)\) và \(\Delta :3x – 4y + 12 = 0\)
b) \(M(4;4)\) và \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – t\end{array} \right.\)
c) \(M(0;5)\) và \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = \frac{{ – 19}}{4}\end{array} \right.\)
d) \(M(0;0)\) và \(\Delta :3x + 4y – 25 = 0\)
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của \(\Delta: a{x_0} + b{y_0} + c=0 \)
Bước 2: khoảng cách từ \(A(x_0;y_0)\) đến d là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Khoảng cách từ \(M(1;2)\) đến \(\Delta :3x – 4y + 12 = 0\) là:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 – 4.2 + 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{5}\)
b) \(\Delta \) có phương trình tham số \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – t\end{array} \right.\) nên có phương trình tổng quát là
\(\left( {x – 0} \right) + \left( {y – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)
Suy ra khoảng cách từ điểm \(M(4;4)\) đến đường thẳng \(\Delta \) là
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.4 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \)
c) \(\Delta \) có phương trình tham số \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = \frac{{ – 19}}{4}\end{array} \right.\) nên có phương trình tổng quát là
\(0.\left( {x – 0} \right) + \left( {y + \frac{{19}}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow y + \frac{{19}}{4} = 0\)
Suy ra khoảng cách từ điểm \(M(0;5)\) đến đường thẳng \(\Delta \) là
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + \frac{{19}}{4}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{39}}{4}\)
d) Khoảng cách từ \(M(0;0)\) đến \(\Delta :3x + 4y – 25 = 0\) là:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 – 25} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5\)
Giải bài 8 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :3x + 4y – 10 = 0\) và \(\Delta ‘:6x + 8y – 1 = 0\)
Phương pháp giải
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng còn lại
+) khoảng cách từ \(A(x_0;y_0)\) đến d là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6;8} \right)\) suy ra hai đường thẳng này song song, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kì từ đường thẳng này tới đường thẳng kia
Chọn điểm \(A\left( {0;\frac{5}{2}} \right) \in \Delta \), suy ra \(d\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = d\left( {A,\Delta ‘} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 8.\frac{5}{2} – 1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{19}}{{10}}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :3x + 4y – 10 = 0\) và \(\Delta ‘:6x + 8y – 1 = 0\) là \(\frac{{19}}{{10}}\)
Giải bài 9 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(S(x;y)\) di động trên đường thẳng \(d:12x – 5y + 16 = 0\). Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5;10)\) đến điểm S.
Phương pháp giải
Khi M nằm trên đường thẳng d thì khoảng ngắn nhất là đoạn vuông góc
Lời giải chi tiết
Điểm S nằm trên đường thẳng d , nên khi S di động trên đoạn thẳng d thì SM ngắn nhất khi \(SM \bot d\)
Nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5;10)\) đến điểm S là khoảng cách từ điểm \(M(5;10)\) đến d
Khoảng cách đó là: \(d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {12.5 – 5.10 + 16} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = 2\)
Vậy khi S di động trên đường thẳng d thì khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(M(5;10)\) đến điểm S là 2.
Giải bài 10 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Một người đang viết chương trình cho trò chơi đá bóng robot. Gọi \(A( – 1;1),B(9;6),C(5; – 3)\) là 3 vị trí trên màn hình
a) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC
b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC
Phương pháp giải
a) Tìm VTPT (hoặc VTCP) => Lập PT tổng quát (hoặc tham số) của đt.
b) Xác định góc giữa hai đường thẳng thông qua cặp VTPT ( hoặc VTCP): \((a_1;b_1), (a_2;b_2)\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
c) Khoảng cách từ \(A(x_0; y_0)\) đến BC: \(a{x_0} + b{y_0} + c=0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {10;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6; – 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { – 4; – 9} \right)\)
+) Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {10;5} \right)\)làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm \(A( – 1;1)\)nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 10t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\)
+) Đường thẳng AC nhận vectơ \(\overrightarrow {AC} = \left( {6; – 4} \right)\)làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm \(A( – 1;1)\)nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 6t\\y = 1 – 4t\end{array} \right.\)
+) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( { – 4; – 9} \right)\)làm phương trình chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( {9;6} \right)\)nên có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 – 4t\\y = 6 – 9t\end{array} \right.\)
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng AB và AC lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3} \right)\)
\(\cos \left( {AB,AC} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { – 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{4\sqrt {65} }}{{65}} \Rightarrow \left( {AB,AC} \right) = 60^\circ 15’\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \(60^\circ 15’\)
c) Đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( { – 4; – 9} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {9; – 4} \right)\) và đi qua \(B\left( {9;6} \right)\), suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:
\(9.\left( {x – 9} \right) – 4\left( {y – 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x – 4y – 57 = 0\)
Khoảng cách từ \(A( – 1;1)\) đến đường thẳng BC là:
\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {9.\left( { – 1} \right) – 4.1 – 57} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2}} }} = \frac{{70\sqrt {97} }}{{97}}\)
Trả lời