Lý thuyết Bài tập cuối chương 4 – Chân trời

Lý thuyết Bài tập cuối chương 4 – Chân trời
============

1.1. Giá trị lượng giác của góc từ 0˚ đến 180˚

a) Giá trị lượng giác

+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó: \(\sin \alpha  = {y_0}\) là tung độ của M \(\cos \alpha  = {x_0}\) là hoành độ của M \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha  \ne {90^o})\) \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha  \ne {0^o},\alpha  \ne {180^o})\)

Chú ý:

a) Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương

Nếu ơ là góc tù thì sin\(\alpha\) > 0, cos\(\alpha\) < 0, tan\(\alpha\) < 0, cot\(\alpha\) < 0.

b) tan\(\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha  \ne {90^0}\).

cot\(\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha  \ne {0^0}\) và \(\alpha  \ne {180^0}\).

b) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} – \alpha \):

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \tan \alpha (\alpha  \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cot \alpha ({0^o} < \alpha  < {180^o})\end{array}\)

Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} – \alpha \):

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha  \ne {90^o},{0^o} < \alpha  < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha  \ne {90^o},{0^o} < \alpha  < {180^o})\end{array}\)

c) Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

d) Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

+ Tính các giá trị lượng giác của góc

Bước 1: Cài đặt đơn vị đo góc (độ hoặc radian)

Bước 2: Vào chế độ tính toán

Chú ý: Để tính \(\cot \alpha \) ta tính \(\frac{1}{{\tan \alpha }}\).

+ Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó

Để tìm \(\alpha \) khi biết \(\cot \alpha \) ta tính \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) rồi tính \(\alpha \) sau.

1.2. Định lí cosin và định lí sin

a) Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C\end{array}\) 

Hệ quả

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}\)

b) Định lí sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)

\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)

c) Các công thức tính diện tích tam giác

1) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)

2) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)

3) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

4) \(S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)

5) \(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) (Công thức Heron)

Câu 1: Tính:

\(A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}\)

\(B = 2\cos {30^o} – 3\tan 150 + \cot {135^o}\)

Hướng dẫn giải

\(A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\sin {150^o} = \frac{1}{2};\tan {135^o} =  – 1;\cot {45^o} = 1.\)

\( \Rightarrow A = \frac{1}{2} – 1 + 1 = \frac{1}{2}.\)

\(B = 2\cos {30^o} – 3\tan 150 + \cot {135^o}\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\tan {150^o} =  – \frac{{\sqrt 3 }}{3};\cot {135^o} =  – 1.\)

\( \Rightarrow B = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} – 3.\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) + 1 = 5\sqrt 3  + 1.\)

Câu 2: Tìm góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\cos \alpha  = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\)

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\sin \alpha \) ta có:

\(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(\alpha  = {60^o}\) và \(\alpha  = {120^o}\)

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cos \alpha \) ta có:

\(\cos \alpha  = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\) với \(\alpha  = {135^o}\)

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh \(b = 14,c = 35\) và \(\widehat A = {60^o}\)

b) Các cạnh \(a = 4,b = 5,c = 3\)

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), ta có:

\(S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2\)

b) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6\)

Áp dụng công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)}  = \sqrt {6(6 – 4)(6 – 5)(6 – 3)}  = 6.\) 

Câu 4: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) \(a = 17,4;\widehat B = {44^o}30′;\widehat C = {64^o}.\)

b) \(a = 10;b = 6;c = 8.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta cần tính góc \(\widehat A\) và hai cạnh \(b,c.\)

Ta có: \(\widehat A = {180^o} – \widehat B – \widehat C = {180^o} – {44^o}30′ – {64^o} = {71^o}30′.\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30′}} = \frac{b}{{\sin {{44}^o}30′}} = \frac{c}{{\sin {{64}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sin {44^o}30′.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30′}} \approx 12,86\\c = \sin {64^o}.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30′}} \approx 16,5\end{array} \right.\end{array}\)

b) Ta cần tính số đo ba góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 \(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {8^2} – {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;\cos B = \frac{{{{10}^2} + {8^2} – {6^2}}}{{2.10.8}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^o},\widehat B = {36^o}52’11,63”\\ \Rightarrow \widehat C = {53^o}7’48,37”\end{array}\)

===========
Chuyên mục: Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác