(Sở Bắc Giang 2022) Một bức tường lớn kích thước \(8m \times 8m\) trước đại sảnh của một toà biệt thự được sơn loại sơn đặc biệt. Người ta vẽ hai nửa đường tròn đường kính \(AD,AB\) cắt nhau tại \(H\); đường tròn tâm \(D\), bán kính \(AD\), cắt nửa đường tròn đường kính \(AB\) tại \(K\). Biết tam giác “cong” \(AHK\) được sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và một mét vuông sơn trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1,5 triệu đồng. Tính số tiền phải trả (làm tròn đến hàng ngàn).

A. \(60,567,000\) (đồng).

B. \(70,405,000\) (đồng).

C. \(67,128,000\) (đồng).

D. \(86,124,000\) (đồng).

Lời giải:

Chọn hệ toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ sau

Dễ thấy cung \(AB\) có phương trình \(y = f(x) = 8 – \sqrt {16 – {{(x – 4)}^2}} \); cung \(AH\) có phương trình \(y = g(x) = 4 + \sqrt {16 – {x^2}} \) và cung \(AC\) có phương trình \(y = h(x) = \sqrt {64 – {x^2}} \). Dễ tìm được tọa độ các điểm \(H(4;4)\) và \(K\left( {6,4;\frac{{24}}{5}} \right)\).

Diện tích tam giác \(AHK\) là

\(S = {S_{AHE}} + {S_{HEX}} = \int_0^4 {\left( {\sqrt {64 – {x^2}} – 4 – \sqrt {16 – {x^2}} } \right)} dx + \int_4^{6.4} {\left( {\sqrt {64 – {x^2}} – 8 + \sqrt {16 – {{(x – 4)}^2}} } \right)} dx \approx 6,255085231.\)\(\)

Số tiền cần trả là \(S \cdot 1,5 + \left( {{8^2} – S} \right) \cdot 1 = 67,12754262\).

Vậy số tiền cần trả là \(67,128,000\) (đồng).