Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương \(a;b;c\) đôi một khác nhau sao cho biểu thức \(A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\) nhận giá trị nguyên dương.

Câu hỏi:
Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương \(a;b;c\) đôi một khác nhau sao cho biểu thức \(A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}\) nhận giá trị nguyên dương.
A. 5. B. 6. C. 12. D. 15.
Lời giải
Ta có:
\(A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} \Leftrightarrow abc = ab + bc + ca + a + b + c(1)\)
Từ ta dễ thấy \(a;b;c\)cùng tính chẵn lẻ.
Vì vai trò của \(a;b;c\) như nhau và \(a;b;c\) đôi một khác nhau nên giả thiết \(a < b < c\). Nếu \(a \ge 3\) thì \(b \ge 5;c \ge 7\) và \(A < 1\) . Suy ra \(a = 1\) hoặc \(a = 2\). TH1: \(a = 1\) thì \(b \ge 3;c \ge 5\)do đó \(1 < A < 3\), suy ra \(A = 2\). Thay \(a = 1;A = 2\) ta được: \(2bc = b + bc + c + 1 + b + c \Leftrightarrow bc = 2(b + c) + 1 \Leftrightarrow (b - 2)(c - 2) = 5\) Từ đó ta có \(b = 3;c = 7\). \( \Rightarrow (a;b;c) = (1;3;7)\) và các hoán vị của nó. TH2: \(a = 2\). Xét tương tự ta có \(b = 4;c = 14\). \( \Rightarrow (a;b;c) = (2;4;14)\) và các hoán vị của nó. Vậy có tất cả: \(3! + 3! = 12\) bộ số \(a;b;c\) thỏa mãn. ==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Xác suất