CÂU HỎI: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(\begin{equation} \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2(\sqrt{x+1}+3)}{x+5}+C . \end{equation}\) Nguyên hàm của hàm số \(\begin{equation} f(2 x) \text { trên tập } \mathbb{R}^{+} \end{equation}\) là 

\(\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text { Đặt } t=\sqrt{x+1} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+1}}=2 \mathrm{~d} t \\
\text { Khi đó } \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\int 2 f(t) \mathrm{d} t \\
\text { Mà } \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2(\sqrt{x+1}+3)}{x+5}+C \text { nên } \int 2 f(t) \mathrm{d} t=\frac{2(t+3)}{t^{2}+4}+C
\end{array}
\end{equation}\)

Khi đó:

\(\begin{equation}
\begin{aligned}
& \int f(t) \mathrm{d} t=\frac{t+3}{t^{2}+4}+C \\
\Leftrightarrow & \int f(2 t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 t+3}{4 t^{2}+4}+C \\
\Leftrightarrow & \int f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{2 x+3}{4\left(x^{2}+1\right)}+C .
\end{aligned}
\end{equation}\)