Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC nhọn có \(H\left( {2;2;1} \right), K\left( { – \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\), O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Gọi I là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm A, đi qua điểm I là

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), ta có tứ giác AOIK nội tiếp trong đường tròn đường kính AI, do đó \(\widehat {KAI} = \widehat {KOI}\) \(\left( 1 \right)\).

Ta cũng có tứ giác ACHO nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, do đó \(\widehat {KAI} = \widehat {HOI}\) \(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {KOI} = \widehat {HOI}\), hay IO là phân giác trong của góc \(\widehat {KOH}\).

Tương tự, HI là phân giác trong của góc \(\widehat {KHO}\).

Như vậy, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK.

Ta có OH = 3, OK = 4, HK = 5. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK nên

\(HK.\overrightarrow {IO} + OK.\overrightarrow {IH} + OH.\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IO} + 4\overrightarrow {IH} + 3\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0  \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\).

Đường thẳng AH có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = \left( {2;1;0} \right)\) nên phương trình AH là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\).

Vì \(A \in AH\) nên \(A\left( {2t;1 + t;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} \left( {2t;1 + t;1} \right)\).

Mà \(OI \bot OA\) nên

\(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {OA} = 0 \Leftrightarrow 0.\left( {2t} \right) + 1.\left( {1 + t} \right) + 1.1 = 0 \Leftrightarrow t = – 2 \Rightarrow A\left( { – 4; – 1;1} \right)\).

Như vậy \(AI = \sqrt {20} \).

Vậy, phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm A, đi qua điểm I là

\(\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 20\).