Từ các chữ số \(\{ 0,1;2;3;4;5,6\} \) viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}\)

Để viết một số có 6 chữ số khác nhau bất kì ta có \(n\left( \Omega \right) = 6.6.5.4.3.2 = 4320\) số.

Gọi A là biến cố số thỏa mãn điều kiện \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}\)

TH1: \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 5\), ta có \(0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 5\)

– Nếu \(\left( {{a_1};{a_2}} \right) = \left( {0;5} \right) \Rightarrow \) có 1 cách chọn \(\left( {{a_1};{a_2}} \right)\)

Có 2 cách chọn \(\left( {{a_3};{a_4}} \right)\), hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.

Tương tự \(\left( {{a_5};{a_6}} \right)\) có 2 cách chọn.

Suy ra có 1.4.2 = 8 số thỏa mãn.

– Nếu \(\left( {{a_1};{a_2}} \right) \ne (0;5) \Rightarrow \) có 2 cách chọn \(\left( {{a_1};{a_2}} \right)\), 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.

Có 2 cách chọn \(\left( {{a_3};{a_4}} \right)\), hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.

Tương tự \(\left( {{a_5};{a_6}} \right)\) có 2 cách chọn.

Suy ra có 4.4.2 = 32 số thỏa mãn.

Vậy TH1 có: 8 + 32 = 40 số thỏa mãn.

TH2: \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 6\) ta có 0 + 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 6

Tương tự như TH1 có 40 số thỏa mãn.

TH3: \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 7\), ta có 1 + 6 – 2 + 5 = 3 + 4 = 7

Có 3 cách chọn \(\left( {{a_1};{a_2}} \right)\), hai số này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 6 cách chọn.

Tương tự có 4 cách chọn \(\left( {{a_3};{a_4}} \right)\) và 2 cách chọn \(\left( {{a_5};{a_6}} \right)\).

Vậy TH3 có 6.4.2 = 48 số thỏa mãn.

\(n\left( A \right) = 40 + 40 + 48 = 128\) số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{128}}{{4320}} = \frac{4}{{135}}\).