. Cho phương trình \({3^{m\cos 2x – \sin 2x}} – {3^{2\left( {1 – \sin 2x} \right)}} = 2 – \sin 2x – m\cos 2x\) với \(m\) là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên dương bé hơn \(2021\) để phương trình có nghiệm.

Câu hỏi:

. Cho phương trình \({3^{m\cos 2x – \sin 2x}} – {3^{2\left( {1 – \sin 2x} \right)}} = 2 – \sin 2x – m\cos 2x\) với \(m\) là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên dương bé hơn \(2021\) để phương trình có nghiệm.

A. \(2018\).

B. \(2019\).

C. \(2020\).

D. \(2021\).

Lời giải

Ta có \({{\rm{3}}^{m\cos 2x – \sin 2x}} – {3^{2\left( {1 – \sin 2x} \right)}} = 2 – \sin 2x – m\cos 2x\)

\( \Leftrightarrow {3^{m\cos 2x – \sin 2x}} + m\cos 2x – \sin 2x = {3^{2\left( {1 – \sin 2x} \right)}} + 2\left( {1 – \sin 2x} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + t\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\), \(f’\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 1 > 0\) \( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \({3^{m\cos 2x – \sin 2x}} + m\cos 2x – \sin 2x = {3^{2\left( {1 – \sin 2x} \right)}} + 2\left( {1 – \sin 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow m\cos 2x – \sin 2x = 2\left( {1 – \sin 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow m\cos 2x + \sin 2x = 2\). Phương trình có nghiệm khi \({m^2} + 1 \ge 4 \Leftrightarrow {m^2} \ge 3\).

\( \Rightarrow m \in \left( { – \infty ; – \sqrt 3 } \right] \cup \left[ {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\). Do \(m \in {\mathbb{Z}^ + },m < 2021\) nên có \(2019\) giá trị của tham số \(m\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ