. Phương trình \({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {\left( {x – 1} \right)^2}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Câu hỏi:

. Phương trình \({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {\left( {x – 1} \right)^2}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4

Lời giải

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Ta có phương trình \({2^{x – 1}} – {2^{{x^2} – x}} = {\left( {x – 1} \right)^2} \Leftrightarrow {2^{x – 1}} + \left( {x – 1} \right) = {2^{{x^2} – x}} + \left( {{x^2} – x} \right).\) \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nhận thấy \(\left( * \right)\) có dạng \(f\left( {x – 1} \right) = f\left( {{x^2} – x} \right) \Leftrightarrow x – 1 = {x^2} – x \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ