. Biết tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{{\log }_x}\left( {2.2020 – x} \right)}}{{{{\log }_x}2}} + \frac{{{{\log }_{2020}}x}}{{{{\log }_{2020}}2}} \ge \frac{1}{{{{\log }_{{{2020}^2} – 1}}2}}\) có dạng \(\left[ {a;\,b} \right]\) (\(a < b\), \(a,\,b \in \mathbb{R}\)). Giá trị của biểu thức \(T = b – a\) là

Câu hỏi:

. Biết tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{{\log }_x}\left( {2.2020 – x} \right)}}{{{{\log }_x}2}} + \frac{{{{\log }_{2020}}x}}{{{{\log }_{2020}}2}} \ge \frac{1}{{{{\log }_{{{2020}^2} – 1}}2}}\) có dạng \(\left[ {a;\,b} \right]\) (\(a < b\), \(a,\,b \in \mathbb{R}\)). Giá trị của biểu thức \(T = b – a\) là

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(4\).

Lời giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\2.2020 – x > 0\\0 < {2020^2} – 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4040\\x \ne 1\end{array} \right.\).

Khi đó, ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\log }_x}\left( {2.2020 – x} \right)}}{{{{\log }_x}2}} + \frac{{{{\log }_{2020}}x}}{{{{\log }_{2020}}2}} \ge \frac{1}{{{{\log }_{{{2020}^2} – 1}}2}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2.2020 – x} \right) + {\log _2}x \ge {\log _2}\left( {{{2020}^2} – 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2.2020x – {x^2}} \right) \ge {\log _2}\left( {{{2020}^2} – 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2.2020x – {x^2} \ge {2020^2} – 1\\ \Leftrightarrow 1 \ge {\left( {x – 2020} \right)^2} \Leftrightarrow – 1 \le x – 2020 \le 1 \Leftrightarrow 2019 \le x \le 2020\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {2019;\,2020} \right]\).

Suy ra \(a = 2019;\,b = 2020\).

Dẫn đến \(T = b – a = 2020 – 2019 = 1\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit