Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2020\ln \left( {{{\rm{e}}^{\frac{x}{{2020}}}} + \sqrt {\rm{e}} } \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = f’\left( 1 \right) + f’\left( 2 \right) + … + f’\left( {2020} \right)\).

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2020\ln \left( {{{\rm{e}}^{\frac{x}{{2020}}}} + \sqrt {\rm{e}} } \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = f’\left( 1 \right) + f’\left( 2 \right) + … + f’\left( {2020} \right)\).

A. \(T = \frac{{2021}}{2} + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e + 1}}\).

B. \(T = 1011 + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e + 1}}\).

C. \(T = \frac{{2019}}{2} + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e + 1}}\).

D. \(T = \frac{{2019}}{2} + \frac{e}{{\sqrt e + 1}}\).

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{{\rm{e}}^t}}}{{{{\rm{e}}^t} + \sqrt {\rm{e}} }}\) ta có \(g\left( {1 – t} \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{1 – t}}}}{{{{\rm{e}}^{1 – t}} + \sqrt {\rm{e}} }} = \frac{{\frac{{\rm{e}}}{{{{\rm{e}}^t}}}}}{{\frac{{\rm{e}}}{{{{\rm{e}}^t}}} + \sqrt {\rm{e}} }} = \frac{{\sqrt {\rm{e}} }}{{\sqrt {\rm{e}} + {{\rm{e}}^t}}}\).

Khi đó \(g\left( t \right) + g\left( {1 – t} \right) = \frac{{{{\rm{e}}^t}}}{{{{\rm{e}}^t} + \sqrt {\rm{e}} }} + \frac{{\sqrt {\rm{e}} }}{{\sqrt {\rm{e}} + {{\rm{e}}^t}}} = 1\).

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = 2020\ln \left( {{{\rm{e}}^{\frac{x}{{2020}}}} + \sqrt {\rm{e}} } \right)\) ta có \(y’ = f’\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{\frac{x}{{2020}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{x}{{2020}}}} + \sqrt {\rm{e}} }}\).

Do với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{n}{{2020}} + \frac{{2020 – n}}{{2020}} = 1\) nên ta có \(f’\left( n \right) + f’\left( {2020 – n} \right) = g\left( {\frac{n}{{2020}}} \right) + g\left( {\frac{{2020 – n}}{{2020}}} \right) = 1\).

Khi đó

\(T = f’\left( 1 \right) + f’\left( 2 \right) + … + f’\left( {2020} \right)\)

\( = \left[ {f’\left( 1 \right) + f’\left( {2019} \right)} \right] + \left[ {f’\left( 2 \right) + f’\left( {2018} \right)} \right] + … + \left[ {f’\left( {1009} \right) + f’\left( {1011} \right)} \right] + f’\left( {1010} \right) + f’\left( {2020} \right)\)

\( = 1 + 1 + … + 1 + \frac{{{{\rm{e}}^{\frac{{1010}}{{2020}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{{1010}}{{2020}}}} + \sqrt {\rm{e}} }} + \frac{{{{\rm{e}}^{\frac{{2020}}{{2020}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{{2020}}{{2020}}}} + \sqrt {\rm{e}} }}\)\( = 1009 + \frac{1}{2} + \frac{e}{{\sqrt e + 1}}\)\( = \frac{{2019}}{2} + \frac{e}{{\sqrt e + 1}}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit