Cho hai số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \(x \ge 0\), \(y \ge 1\); \(x + y = 3\). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} + 2{y^2} + 3{x^2} + 4xy – 5x\) lần lượt bằng

Câu hỏi:

Cho hai số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \(x \ge 0\), \(y \ge 1\); \(x + y = 3\). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^3} + 2{y^2} + 3{x^2} + 4xy – 5x\) lần lượt bằng

A. \(20\) và \(15\)

B. \(20\) và \(18\)

C. \(18\) và \(15\)

D. \(15\) và \(13\)

Lời giải

Chọn A

\(y = 3 – x \Rightarrow P = {x^3} + 2{\left( {3 – x} \right)^2} + 3{x^2} + 4x\left( {3 – x} \right) – 5x = {x^3} + {x^2} – 5x + 18\).

Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} – 5x + 18\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y = 3 – x \ge 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left[ {0;2} \right]\).

\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x = – \frac{5}{3} \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

\(f\left( 0 \right) = 18\); \(f\left( 2 \right) = 20\); \(f\left( 1 \right) = 15\).

Vậy \(\max P = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;{\rm{ }}2} \right]} f\left( x \right) = 20\) và \(\min P = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{\rm{ }}2} \right]} f\left( x \right) = 15\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số