Trong một kho có nhiều miếng tôn hình chữ nhật khác nhau đủ loại kích thước có cùng chu vi là 240 cm. Một bác thợ hàn dự định làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ một mảnh tôn trong số đó. Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tôn có chiều rộng và chiều dài bằng bao nhiêu để thể tích chiếc thùng là lớn nhất?

Câu hỏi:

Trong một kho có nhiều miếng tôn hình chữ nhật khác nhau đủ loại kích thước có cùng chu vi là 240 cm. Một bác thợ hàn dự định làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ một mảnh tôn trong số đó. Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tôn có chiều rộng và chiều dài bằng bao nhiêu để thể tích chiếc thùng là lớn nhất?

A. 40 cm; 80 cm.

B. 50 cm; 70 cm.

C. 60 cm; 60 cm.

D. 30 cm; 90 cm.

Lời giải

Chọn A

Gọi kích thước một cạnh của miếng tôn là \(x\left( {cm} \right);\,\)\(\left( {0 < x < 120} \right)\).

Khi đó kích thước còn lại của miếng tôn là: \(120 – x\,\left( {cm} \right)\).

Ta có hình vẽ tương ứng:

Giả sử bác thợ hàn quấn hình trụ quanh cạnh \(x\,\), khi đó chu vi đáy hình trụ là \(x\left( {cm} \right)\).

Suy ra bán kính đáy hình trụ là: \(R = \frac{x}{{2\pi }}\); chiều cao hình trụ là: \(h = 120 – x\).

Thể tích chiếc thùng hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \frac{{ – {x^3} + 120{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}\).

Cách 1:

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = – {x^3} + 120{x^2};x \in \left( {0;120} \right)\).

Ta có: \(f’\left( x \right) = – 3{x^2} + 240x.\) Cho \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\left( l \right)\\x = 80{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( x \right) = – {x^3} + 120{x^2};x \in \left( {0;120} \right)\) lớn nhất khi \(x = 80\).

Khi đó chiều dài của miếng tôn là 80 cm, chiều rộng của miếng tôn là 40 cm.

Cách 2:

Bấm máy tính, đối với dòng máy fx – 580 VN X.

Ta nhập Mode 8 \(f\left( x \right) = – {x^3} + 120{x^2}\) bắt đầu: 0, kết thúc: 120, bước: 10.

Ta nhận được kết quả tương tự.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số