Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right)\) là

Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right)\) là

A. 5.

B. 3.

C. 7.

D. 11.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} – 6x} \right)f’\left( {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right)\);

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} – 6x = 0\\f’\left( {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\f’\left( {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right) = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{\left( 1 \right)}\end{array}\)

Mặt khác, từ đồ thị hàm số ta thấy \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a < 0\\x = b \in \left( {0;4} \right)\\x = c > 4\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} – 3{x^2} + 4 = a\\{x^3} – 3{x^2} + 4 = b\\{x^3} – 3{x^2} + 4 = c\end{array} \right.{\rm{ }}\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 2 \right)}\\{\left( 3 \right)}\\{\left( 4 \right)}\end{array}\)

Xét hàm số \(u = {x^3} – 3{x^2} + 4\), \(u’ = 3{x^2} – 6x\), \(u’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Từ đó ta có

Với \(a < 0\), phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm duy nhất nhỏ hơn \( – 1\)

Với \(b \in \left( {0;4} \right)\), phương trình \(\left( 3 \right)\)có ba nghiệm lần lượt thuộc các khoảng \(\left( { – 1;0} \right);\left( {0;2} \right);\left( {2;3} \right)\)

Với \(c > 4\), phương trình \(\left( 4 \right)\) có một nghiệm duy nhất lớn hơn \(3\)

Vậy \(g’\left( x \right) = 0\) có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Cực trị của hàm số