MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là

A. \(5\).

B. \(3\).

C. \(7\).

D. \(11\).

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Tự luận truyền thống

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) \( \Rightarrow \) \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right).f’\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\)

Cho \(g’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 6x = 0\\f’\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  – 2\\{x^3} + 3{x^2} = a;\,\,a < 0\\{x^3} + 3{x^2} = b;\,\,0 < b < 4\\{x^3} + 3{x^2} = c;\,\,c > 4\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\) \( \Rightarrow \) \(h’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x\). Cho \(h’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  – 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Ta có đồ thị của hàm \(h\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\) như sau

Từ đồ thị ta thấy:

Đường thẳng \(y = a\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tại 1 điểm.

 Đường thẳng \(y = b\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tại 3 điểm.

Đường thẳng \(y = c\) cắt đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) tại 1 điểm.

Như vậy phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) có 7 cực trị.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Xét hàm số \(u = {x^3} + 3{x^2}\) ta có \(u’ = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  – 2}\\{x = 0}\end{array}} \right..\)

Gọi \(a,b,c\) là các điểm cục trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) khi đó \(a < 0 < b < 4 < c\)

Và ta cũng có \(f\left( a \right) < f\left( c \right) < 0\); \(f\left( b \right) > 0\).

Suy ra \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) có 7 điểm cực trị.

=======