Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – z – 3 = 0\). Gọi \(d’\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách \(d’\) một khoảng bằng \(\sqrt {11} \) là đường thẳng có phương trình

Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – z – 3 = 0\). Gọi \(d’\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách \(d’\) một khoảng bằng \(\sqrt {11} \) là đường thẳng có phương trình

A. \(\frac{x}{7} = \frac{{y + 1}}{{ – 4}} = \frac{{z + 5}}{{ – 1}}\).

B. \(\frac{{x – 9}}{7} = \frac{{y + 3}}{{ – 4}} = \frac{z}{{ – 1}}\).

C. \(\frac{x}{7} = \frac{{y + 1}}{{ – 4}} = \frac{{z + 5}}{{ – 1}}\)và \(\frac{{x – 9}}{7} = \frac{{y + 3}}{{ – 4}} = \frac{z}{{ – 1}}\).

D. \(\frac{{x + 9}}{7} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{z}{{ – 1}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta thấy: \(A\left( {1\,;\,0\,;\, – 2} \right) = d \cap \left( P \right) \Rightarrow A \in d’\).

\(\left( P \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1\,;\,2\,;\, – 1} \right)\), đường thẳng \(d\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;\,1\,; – 1} \right)\).

Gọi \(d”\) là tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách \(d’\) một khoảng bằng \(\sqrt {11} \)

\(\left( Q \right)\) là mặt phẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) và cách \(d’\) một khoảng bằng \(\sqrt {11} \).

\( \Rightarrow \left( Q \right) \supset d”\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( Q \right) \bot \left( P \right)\\\left( Q \right)\,{\rm{//}}\,\left( {d,d’} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1\,;\,1\,;\,3} \right)\)là 1 VTPT của \(\left( Q \right)\).

\( \Rightarrow \) phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng: \(x + y + 3z + a = 0\).

Ta lại có: \(d\left( {\left( Q \right),d’} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {1 + 0 + 3.\left( { – 2} \right) + a} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {11} \Leftrightarrow \left| {a – 5} \right| = 11 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a – 5 = 11\\a – 5 = – 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 16\\a = – 6\end{array} \right.\).

Mà \(d” = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Với \(a = 16\), ta có phương trình \(d”\)thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – z – 3 = 0\\x + y + 3z + 16 = 0\end{array} \right.\left( I \right)\).

Chọn \(M\left( { – 35\,;\,19\,;\,0} \right)\) và \(N\left( {0\,;\, – 1\,;\, – 5} \right)\) thỏa mãn \(\left( I \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {35\,;\, – 20\,;\, – 5} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d”}}} = \left( {7\,;\, – 4\,;\, – 1} \right)\) là 1 VTCP của \(d”\)\( \Rightarrow d”:\frac{x}{7} = \frac{{y + 1}}{{ – 4}} = \frac{{z + 5}}{{ – 1}}\).

Với \(a = – 6\), ta có phương trình \(d”\)thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – z – 3 = 0\\x + y + 3z – 6 = 0\end{array} \right.\left( {II} \right)\).

Chọn \(K\left( {9\,;\, – 3\,;\,0} \right)\) thỏa mãn \(\left( {II} \right)\) \( \Rightarrow d”:\frac{{x – 9}}{7} = \frac{{y + 3}}{{ – 4}} = \frac{z}{{ – 1}}\).

=======