Cho hai số \(x,\,y\) thỏa mãn \(x + y > 0\) và \({10^{{x^2} + {y^2}}} + {2021^{2021}}.\log \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}} \le {100^{x + y}} + {2021^{2021}}.\log 2\).

Tìm tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 10x – 2y + 2.\)

Câu hỏi:
Cho hai số \(x,\,y\) thỏa mãn \(x + y > 0\) và \({10^{{x^2} + {y^2}}} + {2021^{2021}}.\log \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}} \le {100^{x + y}} + {2021^{2021}}.\log 2\).

Tìm tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 10x – 2y + 2.\)

A. \( – 12\).

B. \( – 8\).

C. \( – 6 – 8\sqrt 2 .\)

D. \(8\sqrt 2 – 6.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \({10^{{x^2} + {y^2}}} + {2021^{2021}}.\log \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}} \le {100^{x + y}} + {2021^{2021}}.\log 2\)

\( \Leftrightarrow {10^{{x^2} + {y^2}}} + {2021^{2021}}.\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {10^{2\left( {x + y} \right)}} + {2021^{2021}}.\log \left[ {2\left( {x + y} \right)} \right]\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {10^t} + {2021^{2021}}.\log t\;\) với \(t > 0\).

\(f’\,\left( t \right) = {10^t}.\ln 10 + \frac{{{{2021}^{2021}}}}{{t\ln 10}} > 0,\;\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \)\(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bất phương trình\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le f\left( {2\left( {x + y} \right)} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 2\left( {x + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} \le 2\,\,\left( {**} \right)\).

Lại có: \(P = {x^2} + {y^2} – 10x – 2y + 2 \Leftrightarrow P = {\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} – 24\,\,\left( {***} \right)\)

Gọi điểm \(M\left( {x;\,y} \right)\), \(K\left( {5;1} \right)\) khi đó ta có điểm \(M\) thuộc hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(r = \sqrt 2 \) và \(P = M{K^2} – 24\)

Vì \(IK = 4 > r = \sqrt 2 \) nên điểm \(K\left( {5;1} \right)\) nằm bên ngoài \(\left( {{C_1}} \right)\).

Do đó \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{K_{\min }} \Leftrightarrow MK = IK – r = 4 – \sqrt 2 \)

\({P_{Max}} \Leftrightarrow M{K_{Max}} \Leftrightarrow MK = IK + r = 4 + \sqrt 2 \)

Suy ra \(\min P = – 6 – 8\sqrt 2 ,\,\,\max P = 8\sqrt 2 – 6\)

Vậy tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) bằng \( – 12\).

=======