Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow u = \left( {1; – 1;0} \right)\) và hai điểm\(P\left( { – 4;7;3} \right),\,Q\left( {4;4;5} \right)\). Giả sử \(A,\,B\)là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \) và \(AB = 5\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {PA – QB} \right|\) bằng
A. \(\sqrt 7 \).
B. \(\sqrt {77} \).
C. \(7\sqrt 2 \).
D. \(\sqrt {17} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow u \) với \(k > 0\).
Mà \(AB = 5\sqrt 2 \Rightarrow AB = k.\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow 5\sqrt 2 = k.\sqrt 2 \Rightarrow k = 5.\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {5; – 5;0} \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 = 5\\y – 7 = – 5\\z – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2;3} \right)\).
Hai điểm \(M\) và \(Q\) đều có cao độ dương nên chúng nằm cùng phía với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
\( \Rightarrow \) \(MQ\) cắt mp \(\left( {Oxy} \right)\) tại một điểm cố định.
Vì \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AB} \Rightarrow \) tứ giác \(PMBA\) là hình bình hành \( \Rightarrow PA = MB\).
Khi đó \(\left| {PA – QB} \right| = \left| {MB – QB} \right| \le MQ\).
Do đó \({\left| {PA – QB} \right|_{\max }} = MQ\)
Dấu xảy ra khi \(B = MQ \cap \left( {Oxy} \right)\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {PA – QB} \right| = MQ = \sqrt {17} .\)
=======
Để lại phản hồi