Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( – 4\) và \(4\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}\) và \(y = 1\) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( – 4\) và \(4\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}\) và \(y = 1\) bằng

A. \(2\ln 3\).

B. \(\ln 3\).

C. \(\ln 18\).

D. \(\ln 2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f’\left( x \right) + f”\left( x \right).\)

Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + f”’\left( x \right)\)\( = f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 12\).

Theo giả thiết ta có phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \(m\), \(n\) và \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( m \right) = – 4\\g\left( n \right) = 4\end{array} \right.\).

Xét phương trình \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}} = 1\)\( \Rightarrow g\left( x \right) + 12 – f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = n\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \left| {\int\limits_m^n {\left( {1 – \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}} \right){\rm{d}}x} } \right|\)\( = \left| {\int\limits_m^n {\frac{{g\left( x \right) + 12 – f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}} {\rm{d}}x} \right|\)\( = \left| {\int\limits_m^n {\frac{{f’\left( x \right) + f”\left( x \right) + 12}}{{g\left( x \right) + 12}}{\rm{d}}x} } \right|\)\( = \left| {\int\limits_m^n {\frac{{g’\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 12}}{\rm{d}}x} } \right|\)\( = \left| {\ln \left| {g\left( x \right) + 12} \right|\left| {_m^n} \right.} \right|\)\( = \left| {\ln \left| {g\left( n \right) + 12} \right| – \ln \left| {g\left( m \right) + 12} \right|} \right|\)\( = \left| {\left| {\ln 8} \right| – \left| {\ln \left( {16} \right)} \right|} \right| = \ln 2\).

=======