Đề bài: Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $

Lời giải

Đề bài:
Cho $a, b$ dương. chứng minh :a) $(a+b)(1+ab)\geq 4ab$                                                    b)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}   $
Lời giải

a) áp dụng BĐT COsi cho 2 số dương:
$a+b\geq 2 \sqrt{ab}, 1+ab\geq 2 \sqrt{1.ab}  $
Vì 2 vế trái dương nên $(a+b)(1+ab)\geq 4 \sqrt{ab} ^{2}=4ab $
Dấu đẳng thức xảy ra $
\Leftrightarrow  a=b $ và $1=ab \Rightarrow a=b=1$
b) Áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương liên tiếp :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2 \sqrt{\frac{1}{ab} }=\frac{2}{\sqrt{ab} }\geq\displaystyle \frac{2}{\frac{a+b}{2} }=\frac{4}{a+b}$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow  a=b$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi