Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) thuộc đoạn \(\left[ {1\,;2020} \right]\) thỏa mãn \(y\)là số nguyên và\(x + \ln x = y + {{\rm{e}}^y}\)? A. \(2021\). B.\(2020\). C. \(6\). D. \(7\).

Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) thuộc đoạn \(\left[ {1\,;2020} \right]\) thỏa mãn \(y\)là số nguyên và\(x + \ln x = y + {{\rm{e}}^y}\)?
A. \(2021\). B.\(2020\). C. \(6\). D. \(7\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {{\rm{e}}^t} \Rightarrow f’\left( t \right) = 1 + {{\rm{e}}^t} > 0\,,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\(\left( 1 \right)\).
Theo đề ra: \(x + \ln x = y + {{\rm{e}}^y}\)\( \Leftrightarrow \)\(f\left( {\ln x} \right) = f\left( y \right)\) \(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\ln x = y \Leftrightarrow x = {{\rm{e}}^y}\). Để \(1 \le x \le 2020\) thì \(1 \le {{\rm{e}}^y} \le 2020 \Leftrightarrow 0 \le y \le \ln 2020\).
\(\left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{Z}\\1 \le y \le 2020\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y \in \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7} \right\}\).
Với mỗi giá trị \(y \in \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7} \right\}\) ta có một giá trị \(x\) tương ứng thuộc đoạn \(\left[ {1\,;2020} \right]\)
Vậy có 7 cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) thỏa mãn.