Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh $a$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $A_1B;  B_1D$.

Lời giải

Ta có: $A_1B\bot B_1A (BAA_1B_1$ là hình vuông ); $A_1B \bot AD $( vì $AD \bot (BAA_1B_1)$)
$\Rightarrow A_1B \bot (B_1AD) \Rightarrow A_1B\bot B_1D  (1)$
Vì $DD_1 \bot (A_1B_1C_1D_1) \Rightarrow DD_1 \bot A_1C_1$.
Do $A_1B_1C_1D_1$ là hình vuông nên $A_1C_1 \bot B_1D_1$.
Từ đó $A_1C_1 \bot (B_1D_1D)\Rightarrow A_1C \bot B_1D  (2)$
Từ $(1),(2) $ suy ra $B_1D\bot (A_1BC_1)  (3)$
Bây giờ ta tìm giao điểm của $B_1D $ với $ (A_1BC_1)$.
Gọi $H$ là giao điểm của $A_1B, AB_1$.

Trong mặt chéo $B_1A_1DA$ rõ ràng $HC_1 \cap B_1D =G$.
Do $B_1H=HA=\frac{1}{2}C_1D\Rightarrow GH=\frac{1}{2}GC_1 \Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $A_1BC_1$.
Vì $A_1BC_1$ là tam giác đều nên $GH \bot A_1B$ con $GH\bot B_1D$ vì $B_1D\bot (A_1B_1C_1)$.
Như thế $GH$ là đương vuông góc chung của $A_1B$ và $B_1D$ nên nó chính là khoảng cách giữa $A_1B; B_1D$.
Ta có: $GH=\frac{1}{3}C_1H=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\Rightarrow d(A_1B,B_1D)=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.