Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ biết $AB=BC=5;CA=3\sqrt{2}  $$a.$ Tính $OA,OB,OC$$b.$ Kẻ $OH\bot (ABC)$. Tính $OH$ và diện tích các tam giác $OAB,OAC,OBC,ABC$

Lời giải

(bạn đọc vẽ hình để theo dõi )
$a,$ Vì $AB=BC=5$ nên sử dụng định lí pytago trong các tam giác vuông $AOB,COB$ ta suy ra : $OA=OC$
Đặt $OA=OC=a;OB=b$ ta có :
$\begin{cases}a^2+b^2=5^2=25 \\ a^2+a^2= (3\sqrt{2} )^2=18\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}a^2=9 \\ b^2= 16\end{cases} \Rightarrow  a=3;b=4$
Vậy $OA=OC=3; OB=4$
$b.$ Giả sử đường thẳng $BH$ cắt $AC$ tại $K$.Dễ thấy $OB\bot mp(OAC)$ nên $OB\bot OK$.Do vậy tam giác $KOB$ vuông tại $B$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $KOB$ và $AOC$ ta có :
$\frac{1}{OH^2} =\frac{1}{OK^2} +\frac{1}{OB^2} =\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2} =\frac{2}{9} +\frac{1}{16} $
$OH^2=\frac{9.16}{41} \Rightarrow  OH=\frac{12}{\sqrt{41} } $
Trong $\Delta OAB$ kẻ $OM\bot AB$.Theo định lí ba đường vuông góc ta có $CM\bot AB$.Trong tam giác vuông góc $AOB$, với đường cao $OM$, ta có :
$OM=\frac{OA.OB}{AB} =\frac{3.4}{5} =\frac{12}{5} $
Từ đó, trong tam giác vuông $MOC$ (vuông tại $O$) ta được
$CM=\sqrt{OM^2+OC^2}=\sqrt{\frac{144}{25}+9 }  =\frac{3\sqrt{41} }{5} $
Diện tích các tam giác :
$S_{\Delta AOB}=S_{\Delta BOC}=6; S_{\Delta AOC}=\frac{9}{2}; S_{\Delta ABC }=\frac{3\sqrt{41} }{2}  $