Đề bài: Cho hình vuông $ABCD $ tâm $O;S$ là một điểm di động trên tia $Ax$ vuông góc với mặt phẳng $ABCD$$a.$ Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của $O$ trên đường thẳng $SB$$b.$ Tìm tập hợp chân đường cao vẽ từ đỉnh $D$ trong $\Delta SDC$

Lời giải

$a.$ Nhận thấy đường thẳng $SB$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ cố định và đi qua điểm $B$ cố định
Hạ $OH\bot (ABCD)\Rightarrow  SA\bot OH\Rightarrow  OD\bot (SAB)$
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên đường thẳng $SB$, suy ra :
$SB\bot MH$ theo định lí ba đường vuông góc
$\Rightarrow  \widehat{BMH}=90^0\Rightarrow  M$ thuộc đường tròn đường kính $BH$ chứa trong $(SAB)$.Khi $S$ di động trên tia $Ax$ thì $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BH$ trong nửa mặt phẳng $(SAB)$ bờ $AB$
$b.$ Nhận thấy đường thẳng $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ cố định và đi qua điểm $C$ cố định.
Ta có :
$\begin{cases} DO\bot AC\\DO\bot SA\end{cases} \Rightarrow  DO\bot (SAC)$
Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên đường thẳng $SC$ suy ra :
$ON\bot SC$ theo định lí ba đường vuông góc
$\Rightarrow  \widehat{ONC}=90^0\Rightarrow  N $ thuộc đường tròn đường kính $OC$ chứa trong $(SAC)$
Khi $S$ di động trên tia $Ax$ thì $N$ thuộc nửa đường tròn đường kính $OC$ trong  nửa mặt phẳng $(SAC)$ bờ $AC$