Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cạnh $a$, đường cao $AH$. Trên tia $AH$ ta lấy một điểm $I$ biết $AI=\frac{1}{3} AH$. Trên đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $I$, lấy một điểm $S, IS=a$$a.$ Chứng minh $SB\bot BA,SC\bot CA$$b.$ Tính diện tích các mặt bên của hình chóp $SABC$

Lời giải

$a.$ Để thấy $H$ và $I$ đối xứng với nhau qua $BC$ suy ra $\widehat{IBK}=30^0 \Rightarrow  IB\bot BA$
Kết hợp với $SI\bot (ABC)$ và theo định lí $3$ đường vuông góc ta suy ra $SB\bot BA$
Tương tự ta chứng minh được $SC\bot CA$
Hai mặt bên $SCA,SBA$ của hình chóp là các tam giác vuông
$b.$ Ta có $AK=\frac{a\sqrt{3} }{2} \Rightarrow  IK=\frac{a\sqrt{3} }{6} ;IC=HC=\frac{a\sqrt{3} }{3} $
Từ đây ta tính được : $SC=SB=\frac{a\sqrt{3} }{3};SK=\frac{a\sqrt{39} }{6}  $
Như vậy $S_{SAB}=S_{SAC}=\frac{a^2\sqrt{2} }{6} $
Ta cũng có
$\left.\begin{matrix}SI\bot (ABC) \\ IK\bot BC\end{matrix}\right\} \Rightarrow  SK\bot BC$ (Định lí $3$ đường vuông góc )
$\Rightarrow  S_{SBC}=\frac{1}{2} BC.SK$
$\Rightarrow  S_{SBC}=\frac{a^2\sqrt{39} }{12} $