[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 42:Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{{\sin }^2}x – 2\sin x + m} \right|\) bằng \(1\). Số phần tử của tập \(S\) bằng

[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 42:Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{{\sin }^2}x – 2\sin x + m} \right|\) bằng \(1\). Số phần tử của tập \(S\) bằng

\(1\).
B. \(2\).
C. \(0\).
D. \(4\)
Lời giải
Đặt \(t = \sin x\). Vì \(x \in \mathbb{R} \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]\)
Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} – 2t + m\] trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\). Ta có \(f’\left( t \right) = 2t – 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
Ta thấy \(t = 1 \in \left[ { – 1;1} \right]\)
Và \(f\left( { – 1} \right) = m + 3;\,f\left( 1 \right) = m – 1\).
Khi đó \[\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = m + 3;\,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = m – 1\]
Vì \[\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = 1\] Nên \[\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| = 1\\\left| {m – 1} \right| \le 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 3} \right| \le 1\\\left| {m – 1} \right| = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = – 2;m = – 4\\0 \le m \le 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} – 4 \le m \le – 2\\m = 0;m = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Hệ trên vô nghiệm.
Vậy số phần tử của tập \(S\) là \(0\).