Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song – Chương 2 – Hình học 11

1. Kiến thức cần nhớ

a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt.

– Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

– Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

– Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng có một điểm chung.

– Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

b) Hai đường thẳng song song

Tính chất của hai đường thẳng song song:

– Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

– Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả:  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Sử dụng một trong các cách sau:

+ Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talet,…)

+ Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

+ Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian

a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp:

Chứng minh ba điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó, chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng, nghĩa là:

– Tìm \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

– Chứng minh \(d\) đi qua ba điểm \(A,B,C\) hoặc đường thẳng \(AB\) đi qua \(C\).

b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Cách 1:  Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

Cách 2:  Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt.

– Bước 1:  Xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1},{d_2} \subset \left( P \right),{d_1} \cap {d_2} = {I_1}\\{d_2},{d_3} \subset \left( Q \right),{d_2} \cap {d_3} = {I_2}\\{d_3},{d_1} \subset \left( R \right),{d_3} \cap {d_1} = {I_3}\end{array} \right.\) với \(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) phân biệt.

– Bước 2:  Kết luận \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy tại \(I \equiv {I_1} \equiv {I_2} \equiv {I_3}\)

Bài toán 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung \(M\)và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(d\) và \(d’\) thì giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua \(M\) song song với \(d\) và \(d’\).

Ví dụ 1:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với các cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\) và \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {IJG} \right)\).

b) Tìm điều kiện của \(AB\) và \(CD\) để thiết diện của \(\left( {IJG} \right)\) và hình chóp là một hình bình hành.

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(ABCD\) là hình thang và \(I,J\) là trung điểm của \(AD,BC\) nên \(IJ//AB\).

Vậy  \(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\IJ \subset \left( {IJG} \right)\\A//IJ\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MN//IJ//AB\) với

\(M \in SA,N \in SB\).

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác \(MNJI\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) và \(M//AB\)nên \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}\)

(\(E\) là trung điểm của \(AB\)).

\( \Rightarrow MN = \frac{2}{3}AB\).

Lại có \(IJ = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\). Vì \(MN//IJ\) nên \(MNIJ\) là hình thang, do đó  \(MNIJ\) là hình bình hành khi \(MN = IJ\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{3}AB = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right) \Leftrightarrow AB = 3CD\).

Vậy thết diện là hình bình hành khi \(AB = 3CD\).

Bài toán 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

• Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
• Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
• Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thang với đáy lớn \(AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\).

a) Chứng minh MN//CD.

b) Gọi \(P\) là giao điểm của \(SC\) và \(\left( {ADN} \right)\), \(I\) là giao điểm của \(AN\) và \(DP\). Chứng minh SI//CD.

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) nên \(MN//AB\).

Lại có \(ABCD\) là hình thang \( \Rightarrow AB//CD\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\CD//AB\end{array} \right. \Rightarrow MN//CD\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(E = AD \cap BC\), trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(P = SC \cap EN\).

Ta có \(E \in AD \subset \left( {ADN} \right)\) \( \Rightarrow EN \subset \left( {AND} \right) \Rightarrow P \in \left( {ADN} \right)\).

Vậy \(P = SC \cap \left( {ADN} \right)\).

Do \(I = AN \cap DP \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AN\\I \in DP\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {SAB} \right)\\I \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\end{array} \right. \Rightarrow SI//CD\).

Bài toán 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm \(A,B,C,D\) đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng \(a,b\) lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh \(a,b\) song song hoặc cắt nhau, khi đó \(A,B,C,D\) thuôc \(mp\left( {a,b} \right)\).

Để chứng minh ba đường thẳng \(a,b,c\)đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh \(a,b,c\) lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right),\left( \delta  \right)\) trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được \(a,b,c\) đồng qui.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một tứ giác lồi. Gọi \(M,N,E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh bên \(SA,SB,SC\) và \(SD\).

a) Chứng minh \(ME,NF,SO\)đồng quy.

b) Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng.

Hướng dẫn:

 

a) Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(I = ME \cap SO\), dễ thấy \(I\) là trung điểm của \(SO\), suy ra \(FI\) là đường trung bình của tam giác \(SOD\).

Vậy \(FI//OD\).

Tương tự ta có \(NI//OB\) nên \(N,I,F\) thẳng hàng hay \(I \in NF\).

Vậy \(ME,NF,SO\) đồng qui.

b) Do \(ME \cap NF = I\) nên \(ME\) và \(NF\) xác định một mặt phẳng.

Suy ra  \(M,N,E,F\) đồng phẳng.

Bài tập minh họa

Bài 1:

Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SBC\) và \(SAB\).

a) Chứng minh \({G_1}{G_2}//AC\).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {B{G_1}{G_2}} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Hướng dẫn:

 

a) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\).

Do \({G_1},{G_2}\) là trọng tâm các tam giác \(SBC\) và \(SAB\) nên \(\frac{{S{G_1}}}{{SN}} = \frac{2}{3},\frac{{S{G_2}}}{{SM}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow \frac{{S{G_1}}}{{SN}} = \frac{{S{G_2}}}{{SM}}\)

\( \Rightarrow {G_1}{G_2}//MN\). Mặt khác \(MN//AC \Rightarrow {G_1}{G_2}//AC\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {B{G_1}{G_2}} \right)\\{G_1}{G_2} \subset \left( {B{G_1}{G_2}} \right)\\AC \subset \left( {ABCD} \right)\\{G_1}{G_2}//AC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {B{G_1}{G_2}} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d//AC//{G_1}{G_2}.\)

Bài 2:

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(AB\).

a) Hãy xác định các điểm \(I \in AC\) và \(J \in DN\) sao cho \(IJ//BM\).

b) Tính \(IJ\) theo \(a\).

Hướng dẫn:

 

a) Trong \(\left( {BCD} \right)\), từ \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(BM\) cắt \(BC\) tại \(K\). Nối \(K\) và \(N\) cắt \(AC\) tại \(I\). Trong \(\left( {IKD} \right)\), từ \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(DK\) cắt \(DN\) tại \(J\).

Khi đó \(IJ//BM\).

b) Do \(BM\) là đường trung bình của tam giác \(CKD\) nên \(KD = 2BM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(HN//AC \Rightarrow \frac{{NK}}{{NI}} = \frac{{KH}}{{HC}} = \frac{{3HC}}{{HC}} = 3\)\( \Rightarrow NK = 3NI \Rightarrow KD = 3IJ\)

\( \Rightarrow IJ = \frac{1}{3}KD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Bài 3:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang.Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt các cạnh \(SA,SB,SC\) và \(SD\) lần lượt tại các điểm \(M,N,P,Q\).

a) Giả sử \(MN \cap PQ = I\), \(AB \cap CD = E\). Chứng minh \(I,E,S\) thẳng hàng.

b) Giả sử \(\Delta  = \left( {IBC} \right) \cap \left( {IAD} \right)\) và \(\Delta  \subset \left( \alpha  \right)\).

Chứng minh \(MQ//NP//AB//CD\).

Hướng dẫn:

 

a) Ta có \(SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)

\(I = MN \cap PQ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( {SAB} \right)\\I \in PQ \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) ,  hay \(I \in SE\).

b) Do \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {IAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)\\AD//BC\\AD \subset \left( {IAD} \right)\\BC \subset \left( {IBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {IAD} \right) \cap \left( {IBC} \right) = \Delta //AB//DC,I \in \Delta \)Mặt khác theo giả thiết \(\Delta  \subset \left( \alpha  \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \subset \left( \alpha  \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\\Delta //BC\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = NP\end{array} \right. \Rightarrow NP//BC//\Delta \)

Tương tự ta cũng có \(MQ//AD//\Delta \).

Vậy  \(MQ//NP//BC//AD//\Delta \).