1. Phép biến hình
– Điểm \(M’\) gọi là ảnh của điểm \(M\) qua phép biến hình \(F\) , hay \(M\) là điểm tạo ảnh của điểm \(M’\), kí hiệu \(M’ = f\left( M \right)\)
– Nếu \(\left( H \right)\) là một hình nào đó thì \(\left( {H’} \right)\) gồm các điểm \(M’\) là ảnh của \(M \in {\rm H}\) được gọi là ảnh của \(\left( {\rm H} \right)\) qua phép biến hình \(F\) .
– Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
2. Phép tịnh tiến
a. Định nghĩa
\({T_{\overrightarrow v }}(M) = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow {MM’} = \overrightarrow v \)
b. Tính chất
– Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm \(M,N\) thành hai điểm \(M’,N’\) thì \(\overrightarrow {M’N’} = \overrightarrow {MN} \) , từ đó suy ra \(M’N’ = MN\)
– Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
– Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ cho vectơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right),M\left( {x;y} \right)\).
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v :{T_{\overrightarrow v }}(M) = M’\left( {x’;y’} \right)\) có biểu thức tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{array} \right.\)
3. Phép đối xứng trục
a. Định nghĩa
Phép đối xứng qua một đường thẳng \(a\) là phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua đường thẳng \(a\). Kí hiệu : ${D_a}$ (\(a\)là trục đối xứng)
b. Tính chất
+) \({D_a}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M’} = – \overrightarrow {{M_0}M} \) với \({M_0}\) là hình chiếu của \(M\) trên \(a\).
+) \({D_a}\left( M \right) = M \Leftrightarrow M \in a\)
+) \({D_a}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow {D_a}\left( {M’} \right) = M\), \(a\) là trung trực của đoạn \(MM’\).
– Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
– Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
– Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\): \({D_a}:M\left( {x;y} \right) \to M’\left( {x’;y’} \right)\)
– Nếu \(a \equiv Ox \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’\\y = – y’\end{array} \right.\)
– Nếu \(a \equiv Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – x’\\y = y’\end{array} \right.\)
4. Phép đối xứng tâm
a. Định nghĩa
Cho điểm \(I\). Phép biến hình biến điểm \(I\) thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) khác \(I\) thành \(M’\) sao cho \(I\) là trung điểm \(MM’\) được gọi là phép đối xứng tâm \(I\). Kí hiệu: \({D_I}\) (\(I\) là tâm đối xứng)
\({D_I}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM’} = – \overrightarrow {IM} \)
b. Tính chất
– Nếu \({D_I}\left( M \right) = M’\) và \({D_I}\left( N \right) = N’\) thì \(\overrightarrow {M’N’} = – \overrightarrow {MN} \) , từ đó suy ra \(M’N’ = MN\)
– Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
– Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
– Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \({I_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), gọi \(M\left( {x;y} \right)\) và \(M’\left( {x’;y’} \right)\) với \({D_I}\left( M \right) = M’ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 2{x_0} – x\\y’ = 2{y_0} – y\end{array} \right.\)
5. Phép quay
a. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho điểm $O$ cố định và góc lượng giác $\alpha $ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\)
thành điểm $M’$ sao cho $OM = OM’$ và $\left( {OM,OM’} \right) = \alpha $ được gọi là phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha $.
Kí hiệu: ${Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}$($O$ là tâm phép quay, $\alpha $ là góc quay lượng giác).
${Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM’\\\left( {OM,OM’} \right) = \alpha \end{array} \right.$
b. Tính chất
– Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).
– Với $k \in \mathbb{Z}$ ta luôn có: ${Q_{\left( {O,2k\pi } \right)}}$ là phép đồng nhất; ${Q_{\left( {O,\left( {2k + 1} \right)\pi } \right)}}$ là phép đối xứng tâm.
– Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
– Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
– Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.
c. Biểu thức tọa độ
$\left\{ \begin{array}{l}x’ – {x_0} = \left( {x – {x_0}} \right)\cos \varphi – \left( {y – {y_0}} \right)\sin \varphi \\y’ – {y_0} = \left( {x – {x_0}} \right)\sin \varphi + \left( {y – {y_0}} \right)\cos \varphi \end{array} \right.$
Đặc biệt:
+) $\varphi = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = – y\\y’ = x\end{array} \right.$
+) Nếu $\varphi = – 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = y\\y’ = – x\end{array} \right.$
+) Nếu $\varphi = 180^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = – x\\y’ = – y\end{array} \right.$
6. Phép vị tự
a. Định nghĩa
Cho điểm $O$ cố định và số $k \ne 0$ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm \(M’\) sao cho \(\overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm $O,$ tỉ số $k.$
Kí hiệu: \({V_{\left( {O,k} \right)}}\) ($O$ là tâm vị tự, $k$ là tỉ số vị tự)
\({V_{\left( {o,k} \right)}}\left( M \right) = M’ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} \)
b. Tính chất
– Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm $M, N$ tùy ý theo thứ tự thành \(M’,\,N’\) thì
\(\overrightarrow {M’N’} = k\overrightarrow {MN} \) và \(M’N’ = \left| k \right|MN\).
– Phép vị tự tỉ số $k:$
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến đường tròn bán kính ${\rm{R}}$ thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|.R$
c. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự ${V_{\left( {I,k} \right)}}$ tâm $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M’\left( {x’;y’} \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = kx + \left( {1 – k} \right){x_0}\\y’ = ky + \left( {1 – k} \right){y_0}\end{array} \right.\)
7. Phép đồng dạng
a. Định nghĩa
Một phép biến hình \(F\) được gọi là phép đồng dạng tỉ số \(k\,\,\,\left( {k > 0} \right)\) nếu với hai điểm bất kỳ \(M,N\) và ảnh \(M’,N’\) tương ứng của chúng ta luôn có \(M’N’ = kMN.\)
Nhận xét:
– Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\).
– Phép vị tự tỉ số \(k\) là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\).
– Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.
b. Tính chất
– Phép đồng dạng tỉ số \(k\):
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toán thứ tự giữa chúng.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến một đường tròn bán kính \(R\) thành đường tròn bán kính \(\left| k \right|.R\).
8. Phép dời hình và hai hình bằng nhau
– Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
– Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Bài tập minh họa
Bài tập 1:
Trong mặt phẳng (Oxy) cho \(\overrightarrow u = \left( {1; – 2} \right)\)
a) Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau:
+) Đường thẳng a có phương trình: 3x-5y+1=0 ?
+) Đường thẳng b có phương trình: 2x+y+100=0
b) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ): \({x^2} + {y^2} – 4{\rm{x}} + y – 1 = 0\)
c) Viết phương trình đường (E) ảnh của (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
d) Viết phương trình ảnh của (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Hướng dẫn giải:
a) Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng.
Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = 1 + x\\y’ = – 2 + y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’ – 1\\y = y’ + 2\end{array} \right.\)
Thay x, y vào phương trình các đường ta có:
Đường thẳng a’: 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 \( \Leftrightarrow \)3x’-5y’-12=0
Đường thẳng b’: 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0
b) Đường tròn (C’): \({\left( {x’ – 1} \right)^2} + {\left( {y’ + 2} \right)^2} – 4\left( {x’ – 1} \right) + y’ + 2 – 1 = 0\)
Hay: \({x^2} + {y^2} – 6{\rm{x}} + 5y + 10 = 0\)
c) Đường (E’): \(\frac{{{{\left( {x’ – 1} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y’ + 2} \right)}^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{4} = 1\)
d) Đường (H’): \(\frac{{{{\left( {x’ – 1} \right)}^2}}}{{16}} – \frac{{{{\left( {y’ + 2} \right)}^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{16}} – \frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{9} = 1\).
Bài tập 2:
Cho điểm M(2;-3). Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d: y-2x=0.
Hướng dẫn giải:
Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {x – 2;y + 3} \right)\quad \overrightarrow U = \left( {1;2} \right)\quad H = \left( {\frac{{x + 2}}{2};\frac{{y – 3}}{2}} \right)\).
Điều kiện (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 2} \right).1 + \left( {y + 3} \right).2 = 0\\\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y – 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y + 4 = 0\\y = x + 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{3}\\x = – \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow N = \left( { – \frac{{14}}{3};\frac{1}{3}} \right).\)
Bài tập 3:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : \({x^2} + {y^2} + 2{\rm{x}} – 6y + 6 = 0\)và (E) : \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) điểm I(1;2). Tìm ảnh của (O;R) và (E) qua phép đối xứng tâm I.
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E).
M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.
Khi đó I là trung điểm của MM’ nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{x + x’}}{2}\\{y_I} = \frac{{y + y’}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 2.1 – x\\y’ = 2.2 – y\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 – x’\\y = 4 – y’\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 – x’} \right)^2} + {\left( {4 – y’} \right)^2} + 2\left( {2 – x’} \right) – 6\left( {4 – y’} \right) + 6 = 0\\\frac{{{{\left( {2 – x’} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 – y’} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 6{\rm{x}} – 2y + 6 = 0\\\frac{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 – y} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\)
Vậy ảnh của (O;R) và (E) qua phép đối xứng tâm I có phương trình lần lượt là:
\({x^2} + {y^2} – 6{\rm{x}} – 2y + 6 = 0;\,\,\frac{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 – y} \right)}^2}}}{4} = 1\).
Bài tập 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (O): \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4.\) Tìm phương trình đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.
Hướng dẫn giải:
Tâm I của (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2.
Nếu (O’) có tâm là J và bán kính R’ là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức vectơ:
\(\overrightarrow {{\rm{OJ}}} = 2\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ – 0 = 2.1\\y’ – 0 = 2.1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = 2\\y’ = 2\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {2;2} \right)\).
R’=2R=2.2=4.
Vậy (O’): \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 16\).
Để lại phản hồi