Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp – Chương 2 – Đại số 11

Hoán vị

Tập hợp hữu hạn \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của \(A\) được gọi là một  hoán vị  của \(n\) phần tử đó.

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:

\(P = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…2.1 = n!\)

Ví dụ:  Có bao nhiêu cách xếp \(3\) bạn vào một bàn có \(3\) chỗ ngồi?

Giải:

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị khác nhau của \(3\) bạn. Vậy số cách xếp là \({P_3} = 3! = 6\).

Chỉnh hợp

Xét một tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\) và một số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là  chỉnh hợp  chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}} = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…\left( {n – k + 1} \right)$

Ví dụ:  Có bao nhiêu số nguyên dương gồm \(3\) chữ số đôi một khác nhau và khác \(0\)?

Giải:

Mỗi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \left( {a,b,c \in \left\{ {1;2;3;…;9} \right\},a \ne b \ne c} \right)\).

Mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(9\). Do đó số các số cần tìm là: \(A_9^3 = \dfrac{{9!}}{{\left( {9 – 3} \right)!}} = 9.8.7 = 504\) số.

Tổ hợp

Cho tập hợp hữu hạn \(A\) và số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của tập \(A\) được gọi là một  tổ hợp  chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).

Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}\)

(quy ước \(0! = 1\))

Một số tính chất:

Với \(k,n \in Z,0 \le k \le n\) thì:

+) \(C_n^k = C_n^{n – k}\)

+) \(C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k – 1}\)

Ví dụ 1:

Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

Vậy có P5 = 5! = 120 (cách).

Ví dụ 2:

Từ tập hợp X= {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi A= \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}\) là số cần lập với \({a_1} \ne 0\) và a₁, a₂, a₃, a₄ phân biệt.

• Chữ số \({a_1} \ne 0\) nên có 5 cách chọn a_1.
• Chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại để sắp xếp vào 3 vị trí có \(A_5^3\) cách.

Vậy có 5.\(A_5^3\) = 300 số có thể lập từ tập hợp X.

Ví dụ 3:

Có 10 cuố sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách chọn ra 4 trong số 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có \(C_{10}^4\) = 210 (cách chọn).

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu cách xếp \(5\) cuốn sách Toán, \(6\) cuốn sách Lý và \(8\) cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: \(3! = 6\) cách xếp

Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có \(5!\) cách hoán vị các cuốn sách Toán, \(6!\) cách hoán vị các cuốn sách Lý và \(8!\) cách hoán vị các cuốn sách Hóa

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: \(6.5!.6!.8!\) cách xếp

Ví dụ 5:

Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

• Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 2 nam.
  • Chọn 1 trong 3 nữ có 3 cách.
  • Chọn 2 trong 5 nam có \(C_5^2\) cách.

Suy ra có 3\(C_5^2\) cách chọn

• Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 1 nam.
  • Chọn 2 trong 3 nữ có \(C_3^2\) cách.
  • Chọn 1 trong 5 nam có 5 cách.

Suy ra có 5\(C_3^2\) cách chọn.

Trường hợp 3: chọn cả 3 nữ, có 1 cách.

Vậy có tất cả:  3\(C_5^2\) +  5\(C_3^2\) + 1 = 46 (cách).