Bài 3. Hàm số bậc hai – Chương 2 – Đại số 10

1. Hàm số bậc hai

a. Định nghĩa

– Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

– TXĐ: \(D = R\).

b. Đồ thị hàm số bậc hai

– Có dáng là đường Parabol có đỉnh \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; – \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right),\Delta  = {b^2} – 4ac\).

– Trục đối xứng là đường thẳng \(x =  – \dfrac{b}{{2a}}\).

– Bề lõm hướng lên trên khi \(a > 0\) và hướng xuống dưới khi \(a < 0\)

– Cách vẽ:

+) Xác định đỉnh \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; – \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\).

+) Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.

+) Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng).

+) Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại.

2. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

– Nếu \(a > 0\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { – \infty ; – \dfrac{b}{{2a}}} \right)\), đạt được GTNN trên \(R\) tại \(x =  – \dfrac{b}{{2a}}\).

– Nếu \(a < 0\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – \dfrac{b}{{2a}}} \right)\), đạt được GTLN trên \(R\) tại \(x =  – \dfrac{b}{{2a}}\).

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc hai, xác định các yếu tố liên quan trong đồ thị hàm số.

Phương pháp:

Sử dụng dạng của hàm số bậc hai, các kiến thức về đỉnh parabol, trục đối xứng, điểm đi qua,…

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về GTLN, GTNN của hàm số bậc hai khi hệ số \(a > 0,a < 0\).

Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số bậc hai.

 

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp liên quan đến hàm số bậc hai

Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.

Ví dụ 1:  Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^2} – mx + 1\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).

Giải:

Đồ thị hàm số đi qua \(M\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \) thay \(x = 1;y = 2\) ta được:

\(2 = {1^2} – m.1 + 1 \Leftrightarrow 2 = 2 – m \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy \(m = 0\) là giá trị cần tìm.

Dạng 2: Viết phương trình parabol đi qua ba điểm.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

– Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình parabol.

– Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(a,b,c\).

Ví dụ 2:  Lập phương trình parabol đi qua các điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( { – 1;1} \right)\).

Giải:

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Do \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( { – 1;1} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\1 = a{.1^2} + b.1 + c\\1 = a.{\left( { – 1} \right)^2} + b.\left( { – 1} \right) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b = 1\\a – b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol là \(y = {x^2}\).

Dạng 3: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

– Bước 2: Lập hệ phương trình ẩn \(a,b,c\) từ các dữ kiện bài cho.

– Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(a,b,c\).

Ví dụ 3:  Lập phương trình parabol có đỉnh \(\left( { – 1;3} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Giải:

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(\left( {0;4} \right)\) và đỉnh \(\left( { – 1;3} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\ – \dfrac{b}{{2a}} =  – 1\\a.{\left( { – 1} \right)^2} + b.\left( { – 1} \right) + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\b = 2a\\a – b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol là \(y = {x^2} + 2x + 4\).

Dạng 4: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số.

(Áp dụng cho bài toán cô lập được \(m\) từ phương trình).

Phương pháp:

– Bước 1: Rút \(m\) từ phương trình, đưa về dạng \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\).

– Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

– Bước 3: Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = g\left( m \right)\).

Ví dụ 4:  Biện luận số nghiệm của phương trình \({x^2} – x + m – 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \({x^2} – x + m – 1 = 0 \Leftrightarrow m =  – {x^2} + x + 1\)

Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  – {x^2} + x + 1\) với đường thẳng \(y = m\).

Xét hàm số \(y =  – {x^2} + x + 1\) có đồ thị là parabol như hình vẽ:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Khi \(m < \dfrac{5}{4}\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại đúng \(2\) điểm phân biệt.

Do đó phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Khi \(m = \dfrac{5}{4}\) thì đường thẳng \(y = m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số hay chỉ có \(1\) điểm chung với đồ thị hàm số.

Do đó phương trình đã cho có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Khi \(m > \dfrac{5}{4}\) thì đường thẳng không cắt đồ thị hàm số hay không có điểm chung với đồ thị hàm số.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận:

+ Nếu \(m < \dfrac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(m = \dfrac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m > \dfrac{5}{4}\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.