Đề bài:  Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}} {\rm{d}}x.\) 

Đặt  \(\sqrt {x + 1} = t \Rightarrow x = {t^2} – 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)

 Đổi cận:  \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2\)

\(\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\frac{{{t^2} – 1}}{t}2t.dt = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {2({t^2} – 1)dt} } }\)

\(\left. { = \frac{{2{t^3}}}{3} – 2t} \right|_1^{\sqrt 2 } = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} – 2\sqrt 2 – \frac{2}{3} + 1 = \frac{{4 – 2\sqrt 2 }}{3}.\)