Đề bài: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}} \) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

\(I = \int\limits_0^4 {\frac{{d{\rm{x}}}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}.} \)

Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} + 1}  \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} + 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{dx}}.\)

Khi đó: \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{tdt}}{{t + 3}}}  = \int\limits_1^3 {\left( {1 – \frac{3}{{t + 3}}} \right)dt}  = 2 – 3\ln \frac{2}{3} = 2 + 3\ln \frac{3}{2}.\)

Do đó \(a + b = 5.\)