Đề bài: Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y – 4) \ge 1.\) Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x – 2y + 2 – m = 0.\)

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y – 4) \ge 1\)

\(\Leftrightarrow 4x + 4y – 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2 \Leftrightarrow 2 \ge {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2}\;(1)\)

Lại có \({x^2} + {y^2} + 2x – 2y + 2 – m = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y – 1)^2} = m\;(m \ge 0)\)

Với \(m = 0 \Rightarrow x = – 1;y = 1\) không thõa mãn (1).

Khi đó gọi M(x;y) thỏa mãn giả thiết bài toán thì điểm m nằm trong hoặc trên đường tròn \({(x – 2)^2} + {(y – 2)^2} = 2\) và nằm trên đường tròn \({(x + 1)^2} + {(y – 1)^2} = m\;(m > 0)\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hai đường tròn tiếp xúc nhau:

Gọi I(2;2), \(R = \sqrt 2\) và I’(-1;1), \(R’ = \sqrt m\) lần lượt là lượt là tâm và bán kính của hai đường tròn.

Ta có điều kiện tiếp xúc: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R + R’ = II’}\\ {\left| {R – R’} \right| = II’} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 + \sqrt m = \sqrt {10} }\\ {\left| {\sqrt 2 – \sqrt m } \right| = \sqrt {10} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10} \pm \sqrt 2 } \right)^2}\)