Đề: Cho mặt cầu (S): \({(x – 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 3)^2} = 9\). Điểm M (x; y; z) di động trên (S). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {2{\rm{x}} + 2y – z + 16} \right|.\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2; – 1;3} \right)\) và có bán kính \(R = 3.\)

Xét mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y – z + 16 = 0.\)

Đường thẳng \(\Delta \) qua I và vuông góc với (P) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  – 1 + 2t\\z = 3 – t\end{array} \right..\)

\(\Delta \) và (S) cắt nhau tại hai điểm:  \(A\left( {0; – 3;4} \right),B\left( {4;1;2} \right).\)

Ta có: \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 8.\)

Lấy \(M\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2{\rm{x}} + 2y – z + 16} \right|}}{3} = \frac{1}{3}P.\)

Luôn có \(2 = d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {M,\left( P \right)} \right) \le d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 8 \Leftrightarrow 6 \le P \le 24.\)

Vậy \({P_{\min }} = 6\,\,khi\,\,x = 0,y =  – 3,z = 4.\)