Bài 3.42
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 2\pi \)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = 2 – x,y = {x^2}\) và trục hoành trong miền \(x \ge 0\)
Giải
a) Ta có \(\sin x \ge 0\) trên đoạn \(\left[ {0 ;\pi } \right]\) và \(\sin x \le 0\) trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\).
Vậy diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình 3.2) là:
\(S = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx = \int\limits_0^\pi {\sin xdx – } } \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx} \)
\(= 2 – \left( { – 2} \right) = 4\)
b) Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = 2 – x\) và \(y = {x^2}\) bằng cách giải phương trình \(2 – x = {x^2}\). Ta tìm được \(x = 1\) và \(x = – 2\) (loại). Hình tạo thành (phần tô đậm trong hình 3.2) gồm một tam giác cong và một tam giác. Diện tích tam giác cong là:\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} = {1 \over 3}\). Diện tích tam giác là \({1 \over 2}\).
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: \({1 \over 3} + {1 \over 2} = {5 \over 6}\)
—————————————————
Bài 2.43
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\)
Giải
\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} – 3{x^2} + 2x} \right|dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x} \right)} } dx\)
\( – \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x} \right)dx + } \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x} \right)dx} \)
\(={1 \over 4} – \left( { – {1 \over 4}} \right) + {9 \over 4} = {{11} \over 4}\)
——————————————————
Bài 3.47 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số \(y = x + {1 \over x}\), trục hoành, đường thẳng \(x = – 2\) và đường thẳng \(x = – 1\)
b) Đồ thị hàm số \(y = 1 – {1 \over {{x^2}}}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(x = 2\)
c) Đồ thị hàm số \(y = 1 – {1 \over {{x^2}}}\), đường thẳng \(y = – {1 \over 2}\) và đường thẳng \(y = {1 \over 2}\)
Giải
a) \(S = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {1 + {1 \over x}} \right|} dx\) (h.3.7)
$$ = – \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left( {1 + {1 \over x}} \right)} \,dx = \left( { – x – \ln |x|} \right)|_{ – 2}^{ – 1} = 1 + \ln 2$$
b)
\(S = \int\limits_1^2 {\left( {1 – {1 \over {{x^2}}}} \right)dx} = \left( {x + {1 \over x}} \right)|_1^2 = 0,5\)
c) Diện tích hình thang cong ABCD là \(\int\limits_{ – {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {{{dy} \over {\sqrt {1 – y} }}} = \sqrt 6 – \sqrt 2 \) (h.3.8)
Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là: \(2\left( {\sqrt 6 – \sqrt 2 } \right)\)
————————————————————-
Bài 3.49 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số \(y = {2 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\), trục hoành, đường thẳng \(x = 2\) và đường thẳng \(x = 3\)
b) Đồ thị hàm số \(y = {2 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\), đường thẳng \(y = 2\) và đường thẳng \(y = 8\)
Giải
a) \(S = \int\limits_2^3 {{2 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}dx} = – {2 \over {x – 1}}|_2^3 = 1\)
b) Từ \(y = {2 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\), ta rút ra \(x = 1 + {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}\) hoặc \(x = 1 – {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}\)
Vậy \(S = \int\limits_2^8 {\left[ {1 + {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }} – \left( {1 – {{\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}} \right)} \right]} dy = \int\limits_2^8 {{{2\sqrt 2 } \over {\sqrt y }}} dy = 8\)
——————————————————
Bài 3.50 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 2,y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\)
b) Đồ thị hai hàm số \(y = 2 – {x^2},y = x\) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\)
c) Đồ thị hai hàm số \(y = 2 – {x^2},y = x\)
d) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 – x\) và trục hoành.
Giải
a) \(S =\int\limits_0^2 {|{{x^2} + 2 – x}|} dx= \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2 – x} \right)} dx\)
\(=( {{{x^3}} \over 3} – {{{x^2}} \over 2} + 2x)|_0^2 = {{14} \over 3}\)
b) \(S =\int\limits_0^1 {| {2 – {x^2} – x} |} dx= \int\limits_0^1 {\left( {2 – {x^2} – x} \right)} dx\) (h.3.9)
\( = 2x – {{{x^3}} \over 3} – {{{x^2}} \over 2}|_0^1 = {7 \over 6}\)
c) \(S=\int\limits_{ – 2}^1 {| {2 – {x^2} – x} |} dx = \int\limits_{ – 2}^1 {\left( {2 – {x^2} – x} \right)} dx\) (h.3.10)
\( = 2x – {{{x^3}} \over 3} – {{{x^2}} \over 2}|_{ – 2}^1 = {9 \over 2}\)
d) \(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx + 2} \) \(={{22} \over 3}\) (h.3.11)
——————————————————————–
Bài 3.51 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hai hàm số \(y = 7 – 2{x^2}\) và \(y = {x^2} + 4\)
b) Hai đường cong \(x – {y^2} = 0\) và \(x + 2{y^2} = 3\)
c) Hai đường cong \(x = {y^3} – {y^2}\) và \(x = 2y\)
Giải
a) \(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {7 – 2{x^2} – {x^2} – 4} \right)} dx = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {3 – 3{x^2}} \right)} dx = 4\) (h.3.12)
b) \(S = 2\int\limits_0^1 {\sqrt x dx} + 2\int\limits_1^3 {\sqrt {{{3 – x} \over 2}} } dx = 2.{2 \over 3} + 2.{4 \over 3} = 4\) (h.3.13)
c) \(S = \int\limits_0^2 {\left( {2y – {y^3} + {y^2}} \right)dy + } \int\limits_{ – 1}^0 \left( {{y^3} – {y^2} – 2y} \right)dy \)
\(= {8 \over 3} + {5 \over {12}} = {{37} \over {12}} \) (h.3.14)
Trả lời