Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

• Bước 1:  Tìm tập xác định của hàm số
• Bước 2:  Khảo sát sự biến thiên:
  • Xét chiều biến thiên của hàm số:
    •  Tính đạo hàm \(f'(x)\).
    • Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
    •  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
  • Tìm cực trị của hàm số.
  • Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)
• Bước 3:  Vẽ đồ thị
  • Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.
  • Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

• Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f”(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

2. Những dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba:  \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\)

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất:  \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad – bc \ne 0)\)

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 5 trang 32: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học theo sơ đồ trên.

y = ax + b

y = ax² + bx + c

Lời giải:

* Hàm số y = ax + b

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a > 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Trường hợp a < 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a < 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

* Hàm số y = ax² + bx + c

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = 2ax + b. Cho y’ = 0 thì x = – b/2a.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞,- b/2a).

Hàm số đồng biến trên khoảng [- b/2a, +∞].

Hàm số đạt cực tiểu bằng – Δ/4a tại x = – b/2a .

3. Vẽ đồ thị:

Trường hợp a < 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = 2ax + b. Cho y’ = 0 thì x = – b/2a.

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞,- b/2a).

Hàm số nghịch biến trên khoảng [- b/2a, +∞].

Hàm số đạt cực đại bằng – Δ/4a tại x = – b/2a .

3. Vẽ đồ thị:

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 5 trang 33: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x³ + 3x² – 4. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số này với đồ thị của hàm số khảo sát trong Ví dụ 1.

Lời giải:

1.TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên:

y’ = -3x² + 6x. Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0,2)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞,0), (2,+ ∞).

Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại x = 2.

Hàm số đạt cực tiểu bằng -4 tại x = 0.

3. Đồ thị

Nhận xét: hai đồ thị đối xứng nhau qua Oy.

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 5 trang 35: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³/3 – x² + x + 1.

Lời giải:

1.TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên:

y’ = x² – 2x + 1 = (x – 1)² ≥ 0 với mọi x. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Cho y’ = 0 ⇒ x = 1.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 5 trang 36: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x⁴ + 2x² + 3.

Bằng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x⁴ + 2x² + 3 = m.

Lời giải:

1.TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên:

y’ = -4x³ + 4x. Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = ±1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên: (-∞,-1), (0,1).

Hàm số nghịch biến trên: (-1,0), (1, +∞).

Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại x = -1 và x = 1.

Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại x = 0.

3. Đồ thị

Giải biện luận phương trình -x⁴ + 2x² + 3 = m.

Số giao điểm của hai đồ thị y = -x⁴ + 2x² + 3 và y = m là số nghiệm của phương trình trên.

Với m > 4. Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.

Với m = 4 và m < 3. Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với m = 3. Hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Với 3 < m < 4. Hai đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 5 trang 38: Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax⁴ + bx² + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm.

Lời giải:

Ví dụ hàm số y = x⁴. Có đạo hàm y’ = 4x³. Cho y’ = 0 thì x = 0.

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 5 trang 42: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

y = x² + 2x – 3

y = -x² – x + 2.

Lời giải:

Xét phương trình tương giao:

-x² – x + 2 = x² + 2x – 3 ⇔ 2x² + 3x – 5 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = -5/2.

Vậy tọa độ giao điểm là (1, 0) và (-5/2, 8.25).