Phương pháp Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$
Thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $f(x).$
+ Bước 2. Tìm các giới hạn của $f(x)$ khi $x$ dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận.
Chú ý:
+ Đồ thị hàm số $f$ chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến $x$ có thể tiến đến $ + \infty $ hoặc $ – \infty $).
+ Đồ thị hàm số $f$ chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có một trong các dạng sau: $(a;b)$, $[a;b)$, $(a;b]$, $(a;+∞)$, $(-∞;b)$ hoặc là hợp của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: $R$, $(c;+∞)$, $(-∞;d)$, $[c;d]$.
Ví dụ 1
Tìm tiệm cận của hàm số:
a. $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$
b. $y = \frac{{2 – 4x}}{{1 – x}}.$
c. $y = 2x + 1 – \frac{1}{{x + 2}}.$
d. $y = \frac{{{x^2}}}{{1 – x}}.$
a. $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2$, suy ra đường thẳng $y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị $(C).$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = + \infty $, suy ra đường thẳng $x = -1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C).$
b. $y = \frac{{2 – 4x}}{{1 – x}}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 4$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 4$, suy ra đường thẳng $y = 4$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị $(C).$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = + \infty $, suy ra đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C).$
c. $y = 2x + 1 – \frac{1}{{x + 2}}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = – \infty $, suy ra đường thẳng $x = -2$ là tiệm cận đứng của $(C).$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [y – (2x + 1)] = 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y – (2x + 1)] = 0$, suy ra đường thẳng $y = 2x + 1$ là tiệm cận xiên của $(C).$
d. $y = – x – 1 + \frac{1}{{1 – x}}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = – \infty $, suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của $(C).$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [y – ( – x – 1)] = 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y – ( – x – 1)] = 0$, suy ra đường thẳng $y = – x – 1$ là tiệm cận xiên của $(C).$
Ví dụ 2:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Lời giải:
- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)
- Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = – \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)
- Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
Ví dụ 3:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.\)
Lời giải:
- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \end{array}\)
- Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.\)
- Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \end{array}\)
- Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 4:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Lời giải:
- TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)
- Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = – 1\)
- Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
- Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)
- Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
- Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = – \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)
- Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
Ví dụ 5:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}}\).
Lời giải:
- Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y – 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
- Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
- Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.