• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\)trên cạnh \(BC\); các điểm \(M\left( {6\,;\, – 1} \right)\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(HB\) và \(HC\); điểm \(K\left( {1\,;\,2} \right)\) là trực tâm tam giác \(AMN\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\), biết \(A\) thuộc đường thẳng\(d:\,x + 2y + 4 = 0\) và có tung độ âm.

Đăng ngày: 27/10/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Hình học OXY - Tự luận Tag với:Quy tich diem trong he toa do Oxy, Tim toa do diem trong OXY

adsense

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\)trên cạnh \(BC\); các điểm \(M\left( {6\,;\, – 1} \right)\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(HB\)  và \(HC\); điểm \(K\left( {1\,;\,2} \right)\) là trực tâm tam giác \(AMN\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\), biết \(A\) thuộc đường thẳng\(d:\,x + 2y + 4 = 0\) và có tung độ âm.

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho tam giác (ABC) vuông tại (A). Gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (A)trên cạnh (BC); các điểm (Mleft( {6,;, - 1} right)), (N) lần lượt là trung điểm của (HB) và (HC); điểm (Kleft( {1,;,2} right)) là trực tâm tam giác (AMN). Tìm tọa độ đỉnh (C), biết (A) thuộc đường thẳng(d:,x + 2y + 4 = 0) và có tung độ âm. 1

+ Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AH\), ta có \(MI\,//\,AB\) mà \(AB \bot AC\), suy ra \(MI \bot AC\).

Xét \(\Delta AMC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot MC\\MI \bot AC\end{array} \right.\) , suy ra \(I\)là trực tâm \(\Delta AMC\) \( \Rightarrow CI \bot AM\)  (1).

Theo bài ra, \(H\) là trực tâm tam giác \(AMN\) \( \Rightarrow NK \bot AM\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(NK\,//\,CI\).

Xét tam giác \(IHM\) có \(NK\,//\,CI\) và \(N\)là trung điểm của \(HC\), suy ra \(K\) là trung điểm của \(HI\).

Ta có \(I\)là trung điểm của đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm của đoạn \(HI\) \( \Rightarrow AK = 3KH\) (3).

+ Do \(A \in d:\,x + 2y + 4 = 0 \Rightarrow A\left( { – 4 – 2a\,;\,a} \right)\) với \(a < 0\). Khi đó \(\overrightarrow {AK}  = \left( {5 + 2a\,;\,2 – a} \right)\)

adsense

Theo (3), ta có  \(\overrightarrow {AK}  = 3\overrightarrow {KH}  \Rightarrow H\left( {\frac{{8 + 2a}}{3}\,\,;\,\frac{{8 – a}}{3}} \right)\)  và  \(\overrightarrow {MH}  = \left( {\frac{{2a – 10}}{3}\,;\,\frac{{11 – a}}{3}} \right)\).

Vì \(AK \bot MH \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {MH}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {5 + 2a} \right).\frac{{2a – 10}}{3} + \left( {2 – a} \right).\frac{{11 – a}}{3} = 0\)

                                                 \( \Leftrightarrow 5{a^2} – 23a – 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  – 1\\a = \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\) , do  \(a < 0\) nên \(a =  – 1\).

Ta có  \(A\left( { – 2\,;\, – 1} \right)\) , \(H\left( {2\,;\,3} \right)\), \(I\) là trung điểm của đoạn \(AH \Rightarrow I\left( {0\,;\,1} \right)\).

+ Ta có \(MI \bot AC\), nên đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { – 2\,;\, – 1} \right)\) và nhận véctơ \(\overrightarrow {IM}  = \left( {6\,;\, – 2} \right)\) làm một véctơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng \(AC:\,\,\,\,3x – y + 5 = 0\).

+ Đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(M\left( {6\,;\, – 1} \right)\) và \(H\left( {2\,;\,3} \right)\) có phương trình là \(x + y – 5 = 0\).

+ Ta có \(C = AC \cap BC\), nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}3x – y + 5 = 0\\x + y – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\) .

Vậy \(C\left( {0\,;\,5} \right)\).

Thuộc chủ đề:Hình học OXY - Tự luận Tag với:Quy tich diem trong he toa do Oxy, Tim toa do diem trong OXY

Bài liên quan:

  1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\). \(M\) là một điểm khác \(O\) di động trên \(\left( P \right)\). \(T\) là một điểm khác \(O\) và khác \(M\) trên \(\left( P \right)\) sao cho \(OT\) vuông góc với \(OM\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.