Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\). \(M\) là một điểm khác \(O\) di động trên \(\left( P \right)\). \(T\) là một điểm khác \(O\) và khác \(M\) trên \(\left( P \right)\) sao cho \(OT\) vuông góc với \(OM\).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\). \(M\) là một điểm khác \(O\) di động trên \(\left( P \right)\).  \(T\) là một điểm khác \(O\) và khác \(M\) trên \(\left( P \right)\) sao cho \(OT\) vuông góc với \(OM\).

                 a. Chứng minh rằng khi \(M\) di động trên \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(MT\) luôn đi qua một điểm cố định.

                 b. Chứng minh rằng khi \(M\) di động trên \(\left( P \right)\) thì trung điểm \(I\) của \(MT\) luôn chạy trên một Parabol cố định.

Lời giải

a. Gọi \(M\left( {\frac{{{m^2}}}{4};\,m} \right)\), \(T\left( {\frac{{{n^2}}}{4};\,n} \right)\) với \(m,\,n \ne 0\), \(m \ne \,n\).

Ta có \(OM \bot OT \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OT}  = 0 \Leftrightarrow \frac{{{m^2}.{n^2}}}{{16}} + mn = 0 \Leftrightarrow mn =  – 16\).

\(\overrightarrow {TM}  = \left( {\frac{{{m^2} – {n^2}}}{4};\,m – n} \right) = \frac{{m – n}}{4}.\left( {m + n;\,4} \right)\) nên đường thẳng \(MT\) có một VTPT là \[\left( {4;\, – \left( {m + n} \right)} \right)\].

Khi đó ta suy ra phương trình đường thẳng \(MT\) là \(4\left( {x – \frac{{{m^2}}}{4}} \right) – \left( {m + n} \right)\left( {y – m} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x – \left( {m + n} \right)y – 16 = 0\).

Mặt khác \(4x – \left( {m + n} \right)y – 16 = 0 \Leftrightarrow 4\left( {x – 4} \right) – \left( {m + n} \right)y = 0\) nên đường thẳng \(MT\) luôn đi qua điểm cố định là \(Q\left( {4;\,0} \right)\).

b.  Gọi \(I\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) là trung điểm của \(MT\)  thì \({x_0} = \frac{1}{8}\left( {{m^2} + {n^2}} \right)\),  \({y_0} = \frac{1}{2}\left( {m + n} \right)\).

Ta có \({x_0} = \frac{1}{8}\left( {{m^2} + {n^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{8}\left( {{{\left( {m + n} \right)}^2} – 2mn} \right)\)\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{8}\left( {{{\left( {2{y_0}} \right)}^2} – 2\left( { – 16} \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{{y_0}^2 + 8}}{2}\)\( \Leftrightarrow {y_0}^2 = 2{x_0} – 8\).

Vậy khi \(M\) di động trên \(\left( P \right)\) thì trung điểm \(I\) của \(MT\) luôn chạy trên Parabol \({y^2} = 2x – 8\) cố định.