1. Phần đại số
a) Hàm số lượng giác
- Hàm số lượng giác: Hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang, hàm số cotang.
- Phương trình lượng giác:
- Phương trình lượng giác cơ bản theo sin, cos, tan, cot.
- Các dạng phương trình lượng giác thường gặp:
- Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số.
- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Phương trình chứa tổng (hay hiêu) và tích của sin và cos.
- Phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.
b) Tổ hợp và xác suất
- Quy tắc đếm: Quy tắc nhân, quy tắc cộng.
- Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Nhị thức Newton.
- Lý thuyết cơ bản về xác suất:
- Phép thử và biến cố.
- Xác suất của biến cố.
c) Dãy số
- Phương pháp quy nạp toán học.
- Dãy số: Khái niệm dãy số, cách cho một dãy số, dãy số tăng-dãy số giảm-dãy số bị chặn.
- Cấp số cộng: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.
- Cấp số nhân: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.
2. Phần Giải tích
a) Giới hạn
- Giới hạn của dãy số:
- Giới hạn hữu han.
- Giới hạn vô cực,.
- Các giới hạn đặc biệt.
- Định lý về giới hạn hữu hạn.
- Liên hệ giữa giới hạn hữu han và vô cực.
- Cấp số nhân lùi vô hạn.
- Giới hạn của hàm số:
- Giới hạn hữu hạn.
- Giới hạn vô cực.
- Các giới hạn đặc biệt.
- Các định lý về giới hạn hữu hạn.
- Các quy tắc tính giới hạn vô cực.
- Hàm số liên tục:
- Hàm số liên tục.
- Các định lý liên quan.
b) Đạo hàm
- Các lý thuyết về đạo hàm:
- Định nghĩa.
- Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.
- Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm.
- Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
- Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.
- Các quy tắc tính đạo hàm:
- Các quy tắc tính đạo hàm.
- Các công thức tính đạo hàm hàm số cơ bản.
- Đạo hàm của hàm số lượng giác.
- Vi phân.
Bài tập minh họa
Bài tập 1:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n – 1}}{{3n + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x – 1}}\)
Hướng dẫn giải:
a) \(\lim \frac{{2n – 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 – \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 – \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)
b)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 – \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 – \frac{1}{x}}} = – \frac{1}{2}. \end{array}\)
Bài tập 2:
a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{x – 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m – 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.
b) Chứng minh rằng phương trình \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 – 4{m^2}){x^2} + (1 – 2{m^2})x – 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(f(2)=2m-1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x – 2)}}{{x – 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)
Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m – 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy m=3 là giá trị cần tìm.
b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 – 4{m^2}){x^2} + (1 – 2{m^2})x – 1\)
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].
Ta có: \(f(0) = – 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} – 6{m^2} + 2\)
Mà: \(5{m^4} – 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).
Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
Bài tập 3:
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} – 3x} .\)
b) Cho hàm số \(y = {x^3} – 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
Hướng dẫn giải:
a)
\(y’ = {\left( {x.\cos x} \right)’} = {(x)’}.\cos x + x.{(\cos x)’}= \cos x – x.\sin x.\)
\(y’ = \left( {\sqrt {{x^2} – 3x} } \right)’ = \frac{{({x^2} – 3x)’}}{{2\sqrt {{x^2} – 3x} }}\)\(= \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt {{x^2} – 3x} }}\).
b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x – {x_0}) + {y_0}.\)
Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:
\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = – 2 \end{array} \right.\)
+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x – 13.\)
+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)
Bài tập 4:
Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y’\,’\,\, + \,\,4y = 0\).
Hướng dẫn giải:
\(y’ = {(\sin 2x)’} = \cos 2x.(2x)’=2. \cos 2x.\)
\(y” = (2.\cos 2x)’ = 2.( – \sin 2x).(2x)’ = – 4\sin 2x.\)
Suy ra: \(y” + 4y = – 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).
Để lại phản hồi