• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm – Chương 5 – Đại số 11

Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm – Chương 5 – Đại số 11

Đăng ngày: 08/12/2019 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11

Mục lục:

  1. 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
  2. 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
  3. 3. Đạo hàm với hàm hợp
  4. Bài tập minh họa

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)

Nhận xét:

  • (c)’=0 (với c là hằng số).
  • (x)’=1.

Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

  • \({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
  • \({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
  • \({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
  • \(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

Mở rộng:

  • \(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

 

  • \((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)

3. Đạo hàm với hàm hợp

Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)

Hệ quả:

  • \(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.\)
  • \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x} \right)’ = {x^2} – 4x + 3.\)

b) \(y’ = \left[ {({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})} \right]’ = ({x^2} + 1)'(3 – 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})’\)

\(= 2x(3 – 2{x^2}) – 4x({x^2} + 1) = – 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y’ = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]’ = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)’ = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)’ = \left( {\frac{1}{4}x} \right)’ + \left( {\frac{1}{x}} \right)’ = \frac{1}{4} – \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y’ = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)’ = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) – (2x + 1)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}} \right)’ = \frac{{( – {x^2} + 2x + 3)'({x^3} – 2) – ( – {x^2} + 2x + 3)({x^3} – 2)’}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)({x^3} – 2) – 3{x^2}( – {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} – 4{x^3} – 9{x^2} + 4x – 4}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x – 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)’ = \left( {\frac{2}{x}} \right)’ + \left( {5\sqrt x } \right)’ = – \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x – 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x – 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]’ = (x – 2)’\sqrt {{x^2} + 1} + (x – 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)’\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x – 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x – 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} \right)’ = \frac{{\left( x \right)’\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)’}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x.\frac{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}.\)

Tag với:Học chương 5 đại số 11

Bài liên quan:

  • Ôn tập cuối năm – Đại số – Giải tích 11
  • Ôn tập Chương 5 – Đại số 11
  • Bài 5: Đạo hàm cấp hai – Giải tích 11
  • Bài 4: Vi phân – Chương 5 – Đại số 11
  • Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác – Chương 5 – Đại số 11
  • Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm – Chương 5 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.