Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm – Chương 5 – Đại số 11

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)

Nhận xét:

• (c)’=0 (với c là hằng số).
• (x)’=1.

Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

• \({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
• \({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
• \({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
• \(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

Mở rộng:

• \(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

• \((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)

3. Đạo hàm với hàm hợp

Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)

Hệ quả:

• \(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.\)
• \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho hàm số f(x)=x⁶. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x} \right)’ = {x^2} – 4x + 3.\)

b) \(y’ = \left[ {({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})} \right]’ = ({x^2} + 1)'(3 – 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})’\)

\(= 2x(3 – 2{x^2}) – 4x({x^2} + 1) = – 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y’ = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]’ = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)’ = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)’ = \left( {\frac{1}{4}x} \right)’ + \left( {\frac{1}{x}} \right)’ = \frac{1}{4} – \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y’ = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)’ = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) – (2x + 1)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}} \right)’ = \frac{{( – {x^2} + 2x + 3)'({x^3} – 2) – ( – {x^2} + 2x + 3)({x^3} – 2)’}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)({x^3} – 2) – 3{x^2}( – {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} – 4{x^3} – 9{x^2} + 4x – 4}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x – 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)’ = \left( {\frac{2}{x}} \right)’ + \left( {5\sqrt x } \right)’ = – \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x – 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x – 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]’ = (x – 2)’\sqrt {{x^2} + 1} + (x – 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)’\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x – 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x – 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} \right)’ = \frac{{\left( x \right)’\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)’}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x.\frac{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}.\)