Câu 96 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Nếu x thỏa mãn điều kiện:
\(\sqrt {3 + \sqrt x } = 3\)
Thì x nhận giá trị là
(A) 0 ;
(B) 6 ;
(C) 9 ;
(D) 36 .
Hãy chon câu trả lời đúng.
Gợi ý làm bài
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {3 + \sqrt x } = 3 \Leftrightarrow 3 + \sqrt x = 9 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36 \cr} \)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 97 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Biểu thức
\(\sqrt {{{3 – \sqrt 5 } \over {3 + \sqrt 5 }}} + \sqrt {{{3 + \sqrt 5 } \over {3 – \sqrt 5 }}} \)
Có giá trị là
(A) 3 ;
(B) 6 ;
(C) \(\sqrt 5 \);
(D) \( – \sqrt 5 \).
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Gợi ý làm bài
Chọn đáp án A.
Câu 98 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh các đẳng thức:
a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 – \sqrt 5 } \right)}^2}}}} – \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = 8.\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \Rightarrow 2 > \sqrt 3 > 0\)
Suy ra: \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } > 0\)
Ta có:
\({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } } \right)^2} = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 – \sqrt 3 } + 2 – \sqrt 3 \)
\( = 4 + 2\sqrt {4 – 3} = 4 + 2\sqrt 1 = 4 + 2 = 6\)
\({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6\)
Vì \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\) nên \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 – \sqrt 3 } = \sqrt 6 \)
b) Ta có:
\(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 – \sqrt 5 } \right)}^2}}}} – \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 5 } \right)}^2}} }} – {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\)
\( = {2 \over {\left| {2 – \sqrt 5 } \right|}} – {2 \over {\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}} = {2 \over {\sqrt 5 – 2}} – {2 \over {\sqrt 5 + 2}}\)
\( = {{2\left( {\sqrt 5 + 2} \right) – 2\left( {\sqrt 5 – 2} \right)} \over {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}} = {{2\sqrt 5 + 4 – 2\sqrt {5 + 4} } \over {5 – 4}} = 8\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 99 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho:
\(A = {{\sqrt {4{x^2} – 4x + 1} } \over {4x – 2}}.\)
Chứng minh: \(\left| A \right| = 0,5\) với \(x \ne 0,5.\)
Gợi ý làm bài
Ta có:
\(A = {{\sqrt {4{x^2} – 4x + 1} } \over {4x – 2}} = {{\sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^2}} } \over {4x – 2}} = {{\left| {2x – 1} \right|} \over {2\left( {2x – 1} \right)}}\)
– Nếu : \(\eqalign{
& 2x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 1 \cr
& \Leftrightarrow x \ge {1 \over 2} \Leftrightarrow x \ge 0,5 \cr} \)
Suy ra: \(\left| {2x – 1} \right| = 2x – 1\)
Ta có: \(A = {{\left| {2x – 1} \right|} \over {2\left( {2x – 1} \right)}} = {{2x – 1} \over {2\left( {2x – 1} \right)}} = {1 \over 2} = 0,5\)
– Nếu: \(\eqalign{
& 2x – 1 < 0 \Leftrightarrow 2x < 1 \cr
& \Leftrightarrow x < {1 \over 2} \Leftrightarrow x < 0,5 \cr} \)
Suy ra: \(\left| {2x – 1} \right| = – (2x – 1)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& A = {{\left| {2x – 1} \right|} \over {2\left( {2x – 1} \right)}} = {{ – \left( {2x – 1} \right)} \over {2\left( {2x – 1} \right)}} = {1 \over 2} = – 0,5 \cr
& \Rightarrow \left| A \right| = \left| { – 0,5} \right| = 0,5 \cr} \)
Câu 100 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a) \(\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } ;\)
b) \(\sqrt {15 – 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 – 12\sqrt 6 } ;\)
c) \(\left( {15\sqrt {200} – 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\)
Gợi ý làm bài
a)
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \cr
& = \left| {2 – \sqrt 3 } \right| + \sqrt {3 – 2\sqrt 3 + 1} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2 – \sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} \cr
& = 2 – \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 – 1} \right| \cr} \)
\( = 2 – \sqrt 3 + \sqrt 3 – 1 = 1\)
b)
\(\eqalign{
& \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 – 12\sqrt 6 } \cr
& = \sqrt {9 – 2.3\sqrt 6 + 6} + \sqrt {9 – 2.3.2\sqrt 6 + 24} \cr} \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 6 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 6 } \right)}^2}} \cr
& = \left| {3 – \sqrt 6 } \right| + \left| {3 – 2\sqrt 6 } \right| \cr} \)
\( = 3 – \sqrt 6 + 2\sqrt 6 – 3 = \sqrt 6 \)
c)
\(\eqalign{
& \left( {15\sqrt {200} – 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} \cr
& = 15\sqrt {{{200} \over {10}}} – 3\sqrt {{{450} \over {10}}} + 2\sqrt {{{50} \over {10}}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 15\sqrt {20} – 3\sqrt {45} + 2\sqrt 5 \cr
& = 15\sqrt {4.5} – 3\sqrt {9.5} + 2\sqrt 5 \cr} \)
\(\eqalign{
& = 15.2\sqrt 5 – 3.3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 \cr
& = 30\sqrt 5 – 9\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 23\sqrt 5 \cr} \)
Câu 101 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
a) Chứng minh:
\(x – 4\sqrt {x – 4} = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2};\)
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } .\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(x – 4\sqrt {x – 4} = \left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4\)
\( = {\left( {\sqrt {x – 4} } \right)^2} – 2.2\sqrt {x – 4} + {2^2} = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2}\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) A xác định khi: \(x – 4 \ge 0\) và \(x – 4\sqrt {x – 4} \ge 0\)
\(x – 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)
\(\eqalign{
& x – 4\sqrt {x – 4} = \left( {x – 4} \right) – 2.2\sqrt {x – 4} + 4 \cr
& = {\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)^2} \ge 0 \cr} \)
Ta có:
\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x – 4} } + \sqrt {x – 4\sqrt {x – 4} } \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 4} – 2} \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt {x – 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\)
\( = \sqrt {x – 4} + 2 + \left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right|\)
– Nếu
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 4} – 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \)
thì: \(\left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right| = \sqrt {x – 4} – 2\)
Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 + \sqrt {x – 4} – 2 = 2\sqrt {x – 4} \)
– Nếu:
\(\eqalign{
& \sqrt {x – 4} – 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x – 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \)
thì \(\left| {\sqrt {x – 4} – 2} \right| = 2 – \sqrt {x – 4} \)
Ta có: \(A = \sqrt {x – 4} + 2 + 2 – \sqrt {x – 4} = 4\)
Câu 102 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \);
\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} .\)
a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);
b) Tìm x, biết:
\(\sqrt x = \sqrt {x + 1} = 1\);
\(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} = 2\)
Gợi ý làm bài
\(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \) xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,x \ge 0\)
\(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} \) xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
x + 4 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 4 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\)
a) Với \(x \ge 0\) ta có: \(x + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\)
Suy ra: \(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\)
Với \(x \ge 1\) ta có:
\(x + 4 \ge 1 + 4 \Leftrightarrow x + 4 \ge 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \ge \sqrt 5 \)
Suy ra: \(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} \ge 5\)
b.*\(\sqrt x + \sqrt {x + 1} = 1\)
Điều kiện : \(x \ge 0\)
Ta có: \(\sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x = 0\) và \(\sqrt {x + 1} = 1\)
Suy ra: x = 0
* \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} = 2\)
Ta có: \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} \ge \sqrt 5 \)
Mà: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\)
Vậy không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x – 1} = 2\) .
Câu 103 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh
\(x – \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) với x > 0
Từ đó, cho biết biểu thức \({1 \over {x – \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?
Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?
Gợi ý làm bài:
Ta có: \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x – \sqrt x + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x – \sqrt x + 1\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Ta có: \({1 \over {x – \sqrt x + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) bé nhất.
Vì \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\)
Ta có \({\left( {\sqrt x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) bé nhất bằng \({3 \over 4}\)
Khi đó: \({1 \over {x – \sqrt x + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x – {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}\)
Vậy \({1 \over {x – \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \({4 \over 3}\) khi \(x = {1 \over 4}\).
Câu 104 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm số x nguyên để biểu thức \({{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}\) nhận giá trị nguyên.
Gợi ý làm bài:
Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}} = {{\sqrt x – 3 + 4} \over {\sqrt x – 3}} \cr
& = 1 + {4 \over {\sqrt x – 3}} \cr}\)
Để \(1 + {4 \over {\sqrt x – 3}}\) nhận giá trị nguyên thì \({4 \over {\sqrt x – 3}}\) phải có giá trị nguyên.
Vì x nguyên nên \(\sqrt x \) là số nguyên hoặc số vô tỉ.
*Nếu \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\sqrt x – 3\) là số vô tỉ nên \({4 \over {\sqrt x – 3}}\) không có giá trị nguyên.
Trường hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
*Nếu \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(\sqrt x – 3\) là số nguyên. Vậy để \({4 \over {\sqrt x – 3}}\) nguyên thì \(\sqrt x – 3\) phải là ước của 4.
Đồng thời \(x \ge 0\) suy ra: \(\sqrt x \ge 0\)
Ta có: Ư(4) = \({\rm{\{ }} – 4; – 2; – 1;1;2;4{\rm{\} }}\)
Suy ra: \(\sqrt x – 3 = – 4 \Rightarrow \sqrt x = – 1\) (loại)
\(\eqalign{
& \sqrt x – 3 = – 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1 \cr
& \sqrt x – 3 = – 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4 \cr
& \sqrt x – 3 = – 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr
& \sqrt x – 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr
& \sqrt x – 3 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 5 \Rightarrow x = 25 \cr
& \sqrt x – 3 = 4 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Rightarrow x = 49 \cr} \)
Vậy với \(x \in {\rm{\{ }}1;4;16;25;49\} \) thì biểu thức \({{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 3}}\) nhận giá trị nguyên
Câu 105 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a – 2\sqrt b }} – {{\sqrt a – \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} – {{2b} \over {b – a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }}\);
b) \(\left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a – b}}} \right)^2} = 1.\)
Gợi ý làm bài:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a – 2\sqrt b }} – {{\sqrt a – \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} – {{2b} \over {b – a}} \cr
& = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}} – {{\sqrt a – \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} – {{2b} \over {b – a}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} + {{2b} \over {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{a + 2\sqrt {ab} + b – a + 2\sqrt {ab} – b + 4b} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{4\sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {2\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr
& = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} \cr} \)
(với a, b không âm và a ≠b )
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b. Ta có:
\(\eqalign{
& \left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a – b}}} \right)^2} \cr
& = \left( {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right){\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}}} \right]^2} \cr
& = \left[ {{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt {{a^2}} – \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right)} \over {\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} } \right]{\left( {{1 \over {\sqrt a – \sqrt b }}} \right)^2} \cr
& = \left( {\sqrt {{a^2}} – \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} – \sqrt {ab} } \right){1 \over {{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}}} = 1 \cr} \)
(với a, b không âm và a ≠b )
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 106 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức
\(A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\)
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.
Gợi ý làm bài:
a) Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi :
\(\left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
\sqrt a – \sqrt b \ne 0 \hfill \cr
\sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr
ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) thì A có nghĩa.
b) Ta có :
\(\eqalign{
& A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} – 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{\sqrt {{a^2}} – 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{\sqrt {ab} (\sqrt a + \sqrt b )} \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {\sqrt a – \sqrt b }} – \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr
& = \sqrt a – \sqrt b – \sqrt a – \sqrt b = – 2\sqrt b \cr}\)
Vậy giá trị của A không phu thuộc vào a.
Câu 107 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức
\(B = \left( {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}} – 1}} – {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} – \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) .
a) Rút gọn B ;
b) Tìm x để B = 3.
Gợi ý làm bài:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& B = \left( {{{2x + 1} \over {{{\sqrt x }^3} – 1}} – {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} – \sqrt x } \right) \cr
& = \left[ {{{2x + 1} \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 – \sqrt x + \sqrt {{x^2}} } \right)} \over {1 + \sqrt x }} – \sqrt x } \right] \cr
& = {{2x + 1 – \sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {1 – \sqrt x + \sqrt {{x^2}} – \sqrt x } \right) \cr
& = {{2x + 1 – x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2} \cr
& = {{\left( {x + \sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cr} \)
\( = \sqrt x – 1\) (với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)
b) Với B = 3 ta có: \(\sqrt x – 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\)
Câu 108 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức:
\(C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 – x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x – 3\sqrt x }} – {1 \over {\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1.
Gợi ý làm bài:
a) Ta có:
\(\eqalign{
& C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 – x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x – 3\sqrt x }} – {1 \over {\sqrt x }}} \right) \cr
& = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}} – {1 \over {\sqrt x }}} \right] \cr
& = {{\sqrt x \left( {3 – \sqrt x } \right) + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}:{{3\sqrt x + 1 – \left( {\sqrt x – 3} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}} \cr
& = {{3\sqrt x – x + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}:{{2\sqrt x + 4} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}} \cr
& = {{3\sqrt x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}.{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr
& = {{3\left( {\sqrt x + 3} \right)} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}.{{ – \sqrt x \left( {3 – \sqrt x } \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr} \)
\(= {{ – 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}}\) (với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)
b) Với \(C < – 1\) ta có:
\({{ – 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < – 1 \Leftrightarrow {{ – 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} + 1 < 0\)
\(\Leftrightarrow {{ – 3\sqrt x + 2\sqrt x + 4} \over {2\sqrt x + 4}} < 0 \Leftrightarrow {{4 – \sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < 0\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x > 0\)
Khi đó: \(2\sqrt x + 4 > 0\)
Suy ra: \(4 – \sqrt x < 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 4 \Leftrightarrow x > 16\)
Vậy với \(x > 16\) thì C < -1.
Trả lời