Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) \((2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2  – 5)^2}\);

b) \(2\sqrt {3a}  – \sqrt {75a}  + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}}  – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\)

Gợi ý làm bài

a) \((2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2  – 5)^2}\)

\( =  – 10\sqrt 2  + 5\sqrt {{2^2}}  – (18 – 30\sqrt 2  + 25)\)

\( =  – 10\sqrt 2  + 10 – 18 + 30\sqrt 2  – 25 = 20\sqrt 2  – 33\)

b) \(2\sqrt {3a}  – \sqrt {75a}  + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}}  – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \)

\( = 2\sqrt {3a}  – \sqrt {25.3a}  + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}}  – {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \)

\( = 2\sqrt {3a}  – 5\sqrt {3a}  + {3 \over 2}\sqrt {3a}  – 4a\sqrt {3a} \) (với a>0)

 

---

Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) \({{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  – \sqrt b }} + {{\sqrt a  – \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }}\)

với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)

b) \({{a – b} \over {\sqrt a  – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\({{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  – \sqrt b }} + {{\sqrt a  – \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}}\)

\( = {{a + 2\sqrt {ab}  + b + a – 2\sqrt {ab}  + b} \over {a – b}}\)

\( = {{2(a + b)} \over {a – b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))

b) Ta có: \({{a – b} \over {\sqrt a  – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}\)

\( = {{(a – b)(\sqrt a  + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} – {{a\sqrt a  – b\sqrt b } \over {a – b}}\)

\( = {{a\sqrt a  + a\sqrt b  – b\sqrt a  – b\sqrt b } \over {a – b}} – {{a\sqrt a  – b\sqrt b } \over {a – b}}\)

\( = {{a\sqrt a  + a\sqrt b  – b\sqrt a  – b\sqrt b  – a\sqrt a  + b\sqrt b } \over {a – b}}\)

\( = {{a\sqrt b  – b\sqrt a } \over {a – b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))

 

---

Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng mình:

\({x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3  + 1\). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\({x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)

\(\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

\({x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)

Vì \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)

Giá trị biểu thức \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \({1 \over 4}\) khi \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)

Suy ra: \(x =  – {{\sqrt 3 } \over 2}.\)

 

---

Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:

a) \({2 \over {\sqrt 7  – 5}} – {2 \over {\sqrt 7  + 5}}\);

b) \(\,{{\sqrt 7  + 5} \over {\sqrt 7  – 5}} + {{\sqrt 7  – 5} \over {\sqrt 7  + 5}}.\)

Gợi ý làm bài

a) Rút gọn biểu thức ta được \({{ – 10} \over {9}}$\) là số hữu tỉ.

b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.

 

Câu 84 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x biết:

a) \(\sqrt {4x + 20}  – 3\sqrt {5 + x}  + {4 \over 9}\sqrt {9x + 45}  = 6;\)

b) \(\sqrt {25x – 25}  – {{15} \over 2}\sqrt {{{x – 1} \over 9}}  = 6 + \sqrt {x – 1} .\)

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện : \(x \ge  – 5\)

Ta có:

\(\sqrt {4x + 20}  – 3\sqrt {5 + x}  + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45}  = 6\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)}  – 3\sqrt {5 + x}  + {4 \over 3}\sqrt {9(x + 5)}  = 6\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5}  – 3\sqrt {x + 5}  + 4\sqrt {x + 5}  = 6\)

\( \Leftrightarrow x + 5 = 4 \Leftrightarrow x =  – 1\)

Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = -1

b) Điều kiện: \(x \ge 1\)

Ta có:

\(\sqrt {25x – 25}  – {{15} \over 2}\sqrt {{{x – 1} \over 9}}  = 6 + \sqrt {x – 1} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {25(x – 1)}  – {5 \over 2}\sqrt {x – 1}  – \sqrt {x – 1}  = 6\)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {x – 1}  – {5 \over 2}\sqrt {x – 1}  – \sqrt {x – 1}  = 6\)

\( \Leftrightarrow {3 \over 2}\sqrt {x – 1}  = 6 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1}  = 6.{2 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow x – 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17\)

Giá trị x = 17 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 17

————-

Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

\(P = {{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x  + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)

a) Rút gọn P với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)

b) Tìm x để P = 2.

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\)

Ta có:

\(P = {{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x  + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)

\( = {{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x  – 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)

\( = {{x + 2\sqrt x  + \sqrt x  + 2} \over {x – 4}} + {{2x – 4\sqrt x } \over {x – 4}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)

\( = {{x + 3\sqrt x  + 2 + 2x – 4\sqrt x  – 2 – 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)

\( = {{3x – 6\sqrt x } \over {x – 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x  – 2)} \over {(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  – 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x  + 2}}\)

b) Ta có: P = 2 \(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\)

 

---

Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a  – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  – 2}} – {{\sqrt a  + 2} \over {\sqrt a  – 1}}} \right)\)

a) Rút gọn Q với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a  – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  – 2}} – {{\sqrt a  + 2} \over {\sqrt a  – 1}}} \right)\)

\( = {{\sqrt a  – \left( {\sqrt a  – 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  – 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  – 1} \right) – \left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  – 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  – 1} \right)}}\)

\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  – 1} \right)}}:{{a – 1 – 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  – 1} \right)}}\)

\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  – 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt {a – 1} } \right)} \over 3}\)

\( = {{\sqrt a  – 2} \over {3\sqrt a }}\) (với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\))

b) Ta có: \(a \ge 0\) nên \(\sqrt a  > 0\)

Khi đó: \(Q = {{\sqrt a  – 2} \over {3\sqrt a }}\) dương khi \(\sqrt a  – 2 > 0\)

Ta có: \(\sqrt a  – 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > 2 \Leftrightarrow a > 4\)

Vậy khi a>4 thì Q>0

 

---

Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số  a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên  và $\sqrt c $ tồn tại.

Ta có: \({\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& a + b – 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)

\({\left( {\sqrt b  – \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& b + c – 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)

\({\left( {\sqrt c  – \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& c + a – 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

\({{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

– Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

\(a + b + c + d \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {da} \)

– Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

\(a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {de}  + \sqrt {ea} \)