Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1 - Sách Toán

Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) $(2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2 – 5)^2}$;

b) $2\sqrt {3a} – \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} $ với $a \ge 0$

Gợi ý làm bài

a) $(2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2 – 5)^2}$

$ = – 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} – (18 – 30\sqrt 2 + 25)$

$ = – 10\sqrt 2 + 10 – 18 + 30\sqrt 2 – 25 = 20\sqrt 2 – 33$

b) $2\sqrt {3a} – \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} $

$ = 2\sqrt {3a} – \sqrt {25.3a} + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}} – {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} $

$ = 2\sqrt {3a} – 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} – 4a\sqrt {3a} $ (với a>0)

Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ${{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt a – \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}$

với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$

b) ${{a – b} \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}$ với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

${{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt a – \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}}$

$ = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a – 2\sqrt {ab} + b} \over {a – b}}$

$ = {{2(a + b)} \over {a – b}}$ (với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$)

b) Ta có: ${{a – b} \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}$

$ = {{(a – b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} – {{a\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}}$

$ = {{a\sqrt a + a\sqrt b – b\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}} – {{a\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}}$

$ = {{a\sqrt a + a\sqrt b – b\sqrt a – b\sqrt b – a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a – b}}$

$ = {{a\sqrt b – b\sqrt a } \over {a – b}}$ (với $a \ge 0,b \ge 0$ và $a \ne b$)

Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng mình:

${x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ${x^2} + x\sqrt 3 + 1$. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

${x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}$

$\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} $

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

${x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$

Vì ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi x nên ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}$

Giá trị biểu thức ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$ bằng ${1 \over 4}$ khi ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0$

Suy ra: $x = – {{\sqrt 3 } \over 2}.$

Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:

a) ${2 \over {\sqrt 7 – 5}} – {2 \over {\sqrt 7 + 5}}$;

b) $\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 – 5}} + {{\sqrt 7 – 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.$

Gợi ý làm bài

a) Rút gọn biểu thức ta được ${{ – 10} \over {9}}$$ là số hữu tỉ.

b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.

Câu 84 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x biết:

a) $\sqrt {4x + 20} – 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 9}\sqrt {9x + 45} = 6;$

b) $\sqrt {25x – 25} – {{15} \over 2}\sqrt {{{x – 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x – 1} .$

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện : $x \ge – 5$

Ta có:

$\sqrt {4x + 20} – 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45} = 6$

$ \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)} – 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9(x + 5)} = 6$

$ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5} – 3\sqrt {x + 5} + 4\sqrt {x + 5} = 6$

$ \Leftrightarrow x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = – 1$

Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = -1

b) Điều kiện: $x \ge 1$

Ta có:

$\sqrt {25x – 25} – {{15} \over 2}\sqrt {{{x – 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x – 1} $

$ \Leftrightarrow \sqrt {25(x – 1)} – {5 \over 2}\sqrt {x – 1} – \sqrt {x – 1} = 6$

$ \Leftrightarrow 5\sqrt {x – 1} – {5 \over 2}\sqrt {x – 1} – \sqrt {x – 1} = 6$

$ \Leftrightarrow {3 \over 2}\sqrt {x – 1} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 6.{2 \over 3}$

$ \Leftrightarrow x – 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17$

Giá trị x = 17 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 17

————-

Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

$P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}$

a) Rút gọn P với $x \ge 0$ và $x \ne 4.$

b) Tìm x để P = 2.

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: $x \ge 0,x \ne 4$

Ta có:

$P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}$

$ = {{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x – 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}$

$ = {{x + 2\sqrt x + \sqrt x + 2} \over {x – 4}} + {{2x – 4\sqrt x } \over {x – 4}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}$

$ = {{x + 3\sqrt x + 2 + 2x – 4\sqrt x – 2 – 5\sqrt x } \over {x – 4}}$

$ = {{3x – 6\sqrt x } \over {x – 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x – 2)} \over {(\sqrt x + 2)(\sqrt x – 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}}$

b) Ta có: P = 2 $\eqalign{
& \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} $

$ \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16$

Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

$Q = \left( {{1 \over {\sqrt a – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a – 2}} – {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a – 1}}} \right)$

a) Rút gọn Q với $a > 0,a \ne 4$ và $a \ne 1$.

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$Q = \left( {{1 \over {\sqrt a – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a – 2}} – {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a – 1}}} \right)$

$ = {{\sqrt a – \left( {\sqrt a – 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right) – \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}$

$ = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}:{{a – 1 – 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}$

$ = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt {a – 1} } \right)} \over 3}$

$ = {{\sqrt a – 2} \over {3\sqrt a }}$ (với $a > 0,a \ne 4$ và $a \ne 1$)

b) Ta có: $a \ge 0$ nên $\sqrt a > 0$

Khi đó: $Q = {{\sqrt a – 2} \over {3\sqrt a }}$ dương khi $\sqrt a – 2 > 0$

Ta có: $\sqrt a – 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > 2 \Leftrightarrow a > 4$

Vậy khi a>4 thì Q>0

Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

$a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên và $\sqrt c $ tồn tại.

Ta có: ${\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{
& a + b – 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} $

${\left( {\sqrt b – \sqrt c } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{
& b + c – 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} $

${\left( {\sqrt c – \sqrt a } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{
& c + a – 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} $

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

${{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $

$ \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} $

– Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

$a + b + c + d \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} $

– Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

$a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} $

Bài học cùng chương bài

Reader Interactions

Trả lời Hủy