NHẬN DẠNG TAM GIÁC

DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định lí côsin, định lí sin, công thức đường trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $\sin C = 2\sin B\cos A.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân.

Áp dụng định lí côsin và sin ta có:
$\sin C = 2\sin B\cos A$ $ \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}.$
Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$

Ví dụ 2 : Cho tam giác $ABC$ thoả mãn $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.

Ta có: $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}$ $ \Leftrightarrow \sin A(\cos B + \cos C)$ $ = \sin B + \sin C.$
$ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}\left( {\frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{2ca}} + \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}} \right)$ $ = \frac{{b + c}}{{2R}}.$
$ \Leftrightarrow b\left( {{c^2} + {a^2} – {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} – {c^2}} \right)$ $ = 2{b^2}c + 2{c^2}b.$
$ \Leftrightarrow {b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2} – {a^2}b – {a^2}c = 0$ $ \Leftrightarrow (b + c)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) – {a^2}(b + c) = 0.$
${b^2} + {c^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A.$

Ví dụ 3 : Nhận dạng tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:
a) $a\sin A + b\sin B + c\sin C$ $ = {h_a} + {h_b} + {h_c}.$
b) $\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right).$

a) Áp dụng công thức diện tích ta có $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}a{h_a}$ suy ra:
$a\sin A + b\sin B + c\sin C$ $ = {h_a} + {h_b} + {h_c}$ $ \Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ca}} + c.\frac{{2S}}{{ab}}$ $ = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}.$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca$ $ \Leftrightarrow {(a – b)^2} + {(b – c)^2} + {(c – a)^2} = 0.$
$ \Leftrightarrow a = b = c.$
Vậy tam giác $ABC$ đều.
b) Ta có: $\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right).$
$ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + 1 + {{\cot }^2}B + 1} \right).$
$ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}}} \right)$ $ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B} \right)^2}$ $ = 4{\sin ^2}A{\sin ^2}B.$
$ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = {\sin ^2}B$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow a = b$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $C.$