GIẢI TAM GIÁC

DẠNG TOÁN 2: GIẢI TAM GIÁC.
1. PHƯƠNG PHÁP
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.
Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó, biết một góc và hai cạnh kề góc đó, biết ba cạnh. Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin, định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải tam giác $ABC$ biết $b = 32$, $c = 45$ và $\widehat A = {87^0}.$

Theo định lí côsin ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A$ $ = {32^2} + {4^2} – 2.32.4.\sin {87^0}.$
Suy ra $a \approx 53,8.$
Theo định lí sin ta có: $\sin B = \frac{{b\sin A}}{a}$ $ = \frac{{32\sin {{87}^0}}}{{53,8}}$ $ \Rightarrow \widehat B \approx {36^0}.$
Suy ra $\widehat C = {180^0} – \widehat A – \widehat B$ $ \approx {180^0 } – {87^0} – {36^0} = {57^0}.$

Ví dụ 2: Giải tam giác $ABC$ biết $\widehat A = {60^0}$, $\widehat B = {40^0}$ và $c = 14.$

Ta có $\widehat C = {180^0} – \widehat A – \widehat B$ $ = {180^0} – {60^0} – {40^0} = {80^0}.$
Theo định lí sin ta có:
$a = \frac{{c\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{14.\sin {{60}^0}}}{{\sin {{80}^0}}}$ $ \Rightarrow a \approx 12,3.$
$b = \frac{{c\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{14.\sin {{40}^0}}}{{\sin {{80}^0}}}$ $ \Rightarrow b \approx 9,1.$

Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ biết $a = 2\sqrt 3 $, $b = 2\sqrt 2 $, $c = \sqrt 6 – \sqrt 2 .$ Tính góc lớn nhất của tam giác.

Theo giải thiết ta có $c < b < a$ suy ra $\widehat C < \widehat B < \widehat A$ do đó góc $A$ là lớn nhất.
Theo định lí côsin ta có:
$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}$ $ = \frac{{8 + {{(\sqrt 6 – \sqrt 2 )}^2} – {{12}^2}}}{{2.2\sqrt 2 .(\sqrt 6 – \sqrt 2 )}}$ $ = \frac{{4 – 4\sqrt 3 }}{{8\sqrt 3 – 8}} = – \frac{1}{2}.$
Suy ra $\widehat A = {120^0}.$
Vậy góc lớn nhất là góc $A$ có số đo là ${120^0}.$

Bài 4: Giải tam giác $ABC$ biết:
a) $a = 2$, $b=3$, $c =4.$
b) $a = 12$, $c=8,2$ và $\widehat A = {110^0}.$

a) Theo định lí côsin ta có:
$\cos A = \frac{{{3^2} + {4^2} – {2^2}}}{{2.3.4}} = \frac{7}{8}$ $ \Rightarrow \widehat A \approx {28^0}57′.$
$\cos B = \frac{{{2^2} + {4^2} – {3^2}}}{{2.2.4}} = \frac{{11}}{{16}}$ $ \Rightarrow \widehat B \approx {46^0}34′.$
$\widehat C = {180^0} – \widehat A – \widehat B \approx {104^0}29′.$
b) Theo định lí sin ta có:
$\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}$ $ = \frac{{8,2.\sin {{110}^0}}}{{12}}$ $ \Rightarrow \widehat C \approx {39^0}57’$ hoặc $\widehat C \approx {180^0} – {39^0}57′ = {140^0}3′.$
Vì góc $A$ tù nên góc $C$ nhọn do đó $\widehat C \approx {39^0}57′.$
Suy ra $\widehat B = {180^0} – \widehat A – \widehat C$ $ \approx {180^0} – {110^0} – {39^0}57’$ $ = {33^0}3′.$
Mặt khác $b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}}$ $ = \frac{{12.\sin {{33}^0}3′}}{{\sin {{110}^0}}} \approx 6,96.$

Bài 5: Giải tam giác $ABC$ biết:
a) $a = 109$, $\widehat B = {33^0}24’$, $\widehat C = {66^0}59′.$
b) $a = 20$, $b = 13$, $\widehat A = {67^0}23′.$

a) $\widehat A = {180^0} – \left( {{{33}^0}24′ + {{66}^0}59′} \right)$ $ = {79^0}37′.$
$b = \frac{{a.\sin {{33}^0}24′}}{{\sin {{79}^0}37′}} \approx 61.$
$c = \frac{{a.\sin {{66}^0}59′}}{{\sin {{79}^0}37′}} \approx 102.$
b) $\sin B = \frac{{13.\sin {{67}^0}23′}}{{20}} \approx 0,6.$
Vì $b < a$ $ \Rightarrow \widehat B < \widehat A$ $ \Rightarrow \widehat B \approx {36^0}52′.$
$\widehat C \approx {75^0}45′.$
$c = \frac{{20.\sin {{75}^0}45′}}{{\sin {{67}^0}23′}} \approx 21.$

Bài 6: Giải tam giác $ABC$ biết:
a) $b = 4,5$, $\widehat A = {30^0}$, $\widehat C = {75^0}.$
b) $b = 14$, $c = 10$, $\widehat A = {145^0}.$
c) $a = 14$, $b = 18$, $c = 20.$

a) Ta có: $\widehat B = {180^0} – \widehat A – \widehat C$ $ = {180^0} – {30^0} – {75^0} = {75^0}.$
Theo định lí sin ta có:
$a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}$ $ = \frac{{4,5.\sin {{30}^0}}}{{\sin {{75}^0}}}$ $ \Rightarrow a \approx 2,33.$
$c = \frac{{b\sin C}}{{\sin B}}$ $ = \frac{{4,5.\sin {{75}^0}}}{{\sin {{75}^0}}}$ $ \Rightarrow c \approx 4,5.$
b) Theo định lí côsin ta có:
${a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A$ $ = {14^2} + {10^2} – 2.14.10.\cos {145^0}.$
Suy ra $a \approx 22,92.$
Theo định lí sin ta có: $\sin B = \frac{{b\sin A}}{a}$ $ = \frac{{14\sin {{145}^0}}}{{22,92}} \approx 0,35$ $ \Rightarrow \widehat B \approx {20^0}29′.$
Suy ra $\widehat C = {180^0} – \widehat A – \widehat B$ $ \approx {180^0} – {145^0} – {20^0}29’$ $ = {14^0}31′.$
c) Áp dụng định lí côsin ta có:
$\cos A = \sqrt {\frac{{11}}{{15}}} $ $ \Rightarrow A \approx {31^0}5′.$
$\cos B = \sqrt {\frac{{17}}{{35}}} $ $ \Rightarrow B \approx {45^0}49′.$
$\cos C = \sqrt {\frac{5}{{21}}} $ $ \Rightarrow C \approx {50^0}47′.$

Bài 7: Cho $\Delta ABC$ ta có $a = 13$, $b = 4$ và $\cos C = – \frac{5}{{13}}.$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

${c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C$ $ = {13^2} + {4^2} – 2.13.4.\left( { – \frac{5}{{13}}} \right)$ $ = 225$ $ \Rightarrow c = 15.$
$\sin C = \frac{{12}}{{13}}$ $ \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}}$ $ = \frac{{15}}{{2.\frac{{12}}{{13}}}} = \frac{{65}}{8}.$
$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ $ = \frac{1}{2}.13.4.\frac{{12}}{{13}} = 24.$
$p = \frac{{a + b + c}}{2}$ $ = \frac{{13 + 4 + 15}}{2} = 16.$
$r = \frac{S}{p} = \frac{{24}}{{16}} = \frac{3}{2}.$