Lý thuyết Bài tập cuối chương 8 – Kết nối

Lý thuyết Bài tập cuối chương 8
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng 

Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau: 

+ Phương án một có n₁ cách thực hiện,

+ Phương án hai có n₂ cách thực hiện. 

(Phương án 1…….n₁ cách

 Phương án 2…….n₂ cách)

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: \({n_1}\; + {\rm{ }}{n_2}\) cách.

b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào đó phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:

+ Công đoạn một có m₁ cách thực hiện,

+ Với mỗi cách thực hiện công đoạn một có m2 cách thực hiện công đoạn hai.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: \({m_1}{\rm{.}}{{\rm{m}}_2}\) cách. 

1.2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

a) Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phân tử đó (với n là một số tự nhiên, n > 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là \({P_n}\) được tính bằng công thức

\({P_n} = n.\left( {n – 1} \right).\left( {n – 2} \right)…2.1.\)

b) Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)). 

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là \({A_n}^k\), được tính bằng công thức

\({A_n}^k = n.\left( {n – 1} \right)…\left( {n – k + 1} \right)\) hay \({A_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\left( {1 \le k \le n} \right)\)

c) Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là \({C_n}^k\), được tinh bằng công thức

\({C_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\)

1.3. Nhị thức Newton

Ta có công thức sau:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
\end{array}\)

Bài tập minh họa

Câu 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn:

a. Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.

b. Là số tự nhiên chắn có ba chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải

a. Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline{abc}\), với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0, 1, 2, 3} (a \(\neq \) 0, \(a\neq b\neq c\)).

Chọn số a có 3 cách, do a \(\neq \) 0.

Chọn b có 3 cách từ tập A\{a}

Chọn c có 2 cách từ tập A\{a; b}

Số các số thõa mãn bài toán là: 3.3.2 = 18 số.

b. Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \(\overline{abc}\) với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0, 1, 2, 3}, (a \(\neq \) 0, \(a\neq b\neq c\)).

Để \(\overline{abc}\) là số chẵn thì c \(\in\) {0; 2}

* Nếu c = 0

Chọn a có 3 cách, chọn b có 2 cách

\(\Rightarrow\) Số các số lập được là: 3.2 = 6 số

* Nếu c = 2

Chọn a có 2 cách, chọn b có 2 cách

\(\Rightarrow\) Số các số lập được là: 2.2 = 4 số

Vậy số các số chắn có 3 chữ số khác nhau lập được là: 6 + 4 = 10 số.

Câu 2: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.

a. Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?

b. Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?

Hướng dẫn giải

a. Chọn 6 thành viên từ 20 học sinh là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, số cách chọn là: \(C_{20}^{6}\) = 38760 cách.

b. Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: \(C_{20}^{6}\) = 38760 cách.

Chọn 1 trường ban từ 6 thành viên có: 6 cách.

Chọn 1 phó ban từ 6 thành viên, trừ bỏ thành viên trưởng ban có: 5 cách.

Vậy số cách chọn 1 trường ban, 1 phó ban, 4 thành viên là: 38760.6.5 = 1 162 800 cách.

Câu 3: Khai triển (3x – 2)5

Hướng dẫn giải

(3x – 2)5 = (3x)5 + 5(3x)4.(-2) + 10.(3x)3.(-2)2 + 10.(3x)2.(-2)3 + 5(3x).(-2)4 + (-2)5

= 243x5 – 810x4 + 1080x3 – 720x2 + 240x -32.

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối