Lý thuyết Bài 25: Nhị thức Newton – Kết nối

Lý thuyết Bài 25: Nhị thức Newton
=============

Tóm tắt lý thuyết

Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

Chẳng hạn, trong sơ đỏ hình cây (H.8.8) của (a + b)(c + d) thì các tích nhận được là a.c, a.d, b.c, b.d cũng chính là các tích nhận được khi ta lấy một hạng tử của nhị thức thứ nhất (là a hoặc b) nhân với một hạng tử của nhị thức thứ hai (là c hoặc d). Ta có

\(\left( {a + b} \right).\left( {c + d} \right) = a.c + a.d + b.c + b.d\)

Ta có công thức sau:

\(\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}. \end{array}\)

Ví dụ: Khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^4}\). 

Giải

Thay a = 2x và b = 1 trong công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^4}\), ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}.1 + 6.{\left( {2x} \right)^2}{.1^2} + 4.\left( {2x} \right){.1^3} + {1^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1
\end{array}\)

Ta có công thức sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.} \end{array}\)

Ví dụ: Khai triển \({\left( {x + 3} \right)^5}\). 

Giải

Thay a = x và b = 3 trong công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\), ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x + 3} \right)}^5} = {x^5} + 5.{x^4}.3 + 10.{x^3}{{.3}^2} + 10.{x^2}{{.3}^3} + 5.x{{.3}^4} + {3^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^5} + 15{x^4} + 90{x^3} + 270{x^2} + 405x + 243.}
\end{array}\) 

Nhận xét: Các công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) với \(n \in \left\{ {4;5} \right\}\), là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính. 

Bài tập minh họa

Câu 1: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (…) trong sơ đồ hình cây (Hình bên dưới) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Hướng dẫn giải

​

Có 1 tích bằng a3, có 3 tích bằng a2b, có 3 tích bằng ab2, có 1 tích bằng b3.

Khai triển (a + b)3 = a3+ a2b + ab2 + b3

\(\Rightarrow\) Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.

Câu 2:  Khai triển (3x – 2)⁵

Hướng dẫn giải

(3x – 2)⁵ = (3x)⁵ + 5(3x)⁴.(-2) + 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x -32.

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối