Học Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị – Toán 11 CTST

1 . Hàm số lượng giác

• • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\).

 

• • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là \(\mathbb{R}\).

 

• • Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

 

• • Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

  2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và \(f( – x) = f(x)\). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng. Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và \(f( – x) =  – f(x)\). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.      b, Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \) 0 sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f(x + T) = f(x)\) Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. * Nhận xét: Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2\(\pi \). Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì \(\pi \). 3. Đồ thị của các hàm số lượng giác  a, Hàm số y =  sinx

• • Tập xác định là \(\mathbb{R}\).

 

• • Tập giá trị là [-1;1].

 

• • Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).

 

• • Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).

 

• • Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

  b, Hàm số y =  cosx

• • Tập xác định là \(\mathbb{R}\).

 

• • Tập giá trị là [-1;1].

 

• • Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).

 

• • Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\).

 

• • Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

  c, Hàm số y =  tanx

• • Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

 

• • Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

 

• • Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).

 

• • Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

 

• • Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

  d, Hàm số y =  cotx

• • Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

 

• • Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

 

• • Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).

 

• • Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

 

• • Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

   

Đề bài Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là có dạng hình sin? Dựa vào thực  tế để trả lời Lời giải chi tiết Vì hình ảnh mặt cắt sóng nước giống với đồ thị của hàm lượng giác y = sinx

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Hoạt động 1 Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất: a) Giá trị sint và cost b) Giá trị tant (nếu \(t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)) và \(\cot t\)(nếu \(t \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)). Phương pháp giải: Quan sát hình vẽ để trả lời. Lời giải chi tiết: a) Ta thấy \(\sin t = {y_M}\) là tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác và c\(\cos t = {x_M}\) là hoành độ của điểm M trên đường tròn lượng giác. Với mỗi điểm M xác định, ta chỉ có 1 tung độ và hoành độ duy nhất Nên ta chỉ xác định duy nhất giá trị sint và cost. b, Nếu \(t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\), ta có: \(\tan t = \frac{{\sin t}}{{{\rm{cost}}}} = \frac{{{y_M}}}{{{x_M}}}\)( \({x_M} \ne 0\)) Nếu \(t \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\), ta có: \(\cot t = \frac{{{\rm{cost}}}}{{{\rm{sint}}}} = \frac{{{x_M}}}{{{y_M}}}\)( \({y_M} \ne 0\)) Do \({x_M}\), \({y_M}\)xác định duy nhất nên \(\tan t\), \(\cot t\)xác định duy nhất.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Hoạt động 2 Xét hai hàm số \(y = {x^2},y = 2x\) và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số. Phương pháp giải: Quan sát đồ thị để trả lời. Lời giải chi tiết: * Hàm số \(y = {x^2}\) Nhìn đồ thị ta thấy: + \(y(1) = y( – 1) = 1,y(2) = y( – 2) = 4\) + Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. * Hàm số \(y = 2x\) Nhìn đồ thị ta thấy: + \(y(1) =  – y( – 1),y(2) =  – y( – 2)\) + Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm O. Thực hành 1 Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ. Phương pháp giải: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\)thì \( – x \in D\)và \(f( – x) =  – f(x)\). Lời giải chi tiết: * Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)thì \( – x \in \mathbb{R}\) và \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( { – x} \right) =  – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\). Vậy nên \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) là hàm số lẻ. * Hàm số \(y = \cot x\) Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)thì \( – x \in \mathbb{R}\) và \(\cot \left( { – x} \right) =  – \cot x\). Vậy nên \(y = \cot {\rm{x}}\) là hàm số lẻ. Hoạt động 3 Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Phương pháp giải: Dựa vào tính chất \(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}\) Lời giải chi tiết: Do \(\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\),\(k \in \mathbb{Z}\). \( \Rightarrow \sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x\) Nên \(T = 2\pi \). Thực hành 2 Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx Phương pháp giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \)0 sao cho với mọi \(x \in D\)ta có \(x \pm T \in D\) và\(f(x + T) = f(x)\) Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Lời giải chi tiết: * Hàm số y = cosx + Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). + Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)ta có \(x \pm 2\pi  \in D\) và\(\cos (x + 2\pi ) = \cos (x)\) Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì \(T = 2\pi \). * Hàm số y = cotx + Tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). + Với mọi \(x \in \mathbb{R}\)ta có \(x \pm \pi  \in D\) và\(\cot (x + \pi ) = \cot (x)\) Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì \(T = \pi \).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Hoạt động 4 Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Phương pháp giải: Sử dụng máy tính cầm tay. Lời giải chi tiết:

Hoạt động 5 Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Phương pháp giải: Sử dụng máy tính cầm tay. Lời giải chi tiết:

Thực hành 3 Li độ s (cm) của một con lắc đồng hộ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số \(s = 2\cos \pi t\). Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 1 giây đầu thì li độ s nằm trong đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\,\,(cm)\). Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm côsin để giải quyết Lời giải chi tiết: Ta có: \(s \in \left[ { – 1;1} \right]\, \Leftrightarrow  – 1 \le 2\cos \pi t \le 1\) \( \Leftrightarrow  – \frac{1}{2} \le \cos \pi t \le \frac{1}{2}\) Trong 1 giây đầu tiên \(0 < t < 1\) \( \Rightarrow 0 < \pi t < \pi \). Đồ thị hàm số \(y = cosx\) trên \(\left[ {0;\pi } \right]\):

Dựa vào đồ thị ta thấy \( – \frac{1}{2} \le \cos \pi t \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \le \pi t \le \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le \frac{2}{3}\) Vậy \(t \in \left[ {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right]\,\). Hoạt động 6 Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Phương pháp giải: Sử dụng máy tính cầm tay. Lời giải chi tiết:

Hoạt động 7 Hoàn thành bảng giá trị sau đây: Phương pháp giải: Sử dụng máy tính cầm tay. Lời giải chi tiết: Thực hành 4 Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn \(\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]\) thỏa mãn điều kiện \(\tan x = 2\)? Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị. Lời giải chi tiết: Từ đồ thị ta thấy có 4 giá trị x trên đoạn \(\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]\) thỏa mãn điều kiện \(\tan x = 2\)