Học Bài 3. Các công thức lượng giác Toán 11 – CTST

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 2

Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Phương pháp giải:

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b – \sin asinb\)

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a\tan b}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  + \alpha } \right) = \cos 2\alpha  = \cos \alpha \cos \alpha  – \sin \alpha sin\alpha  = {\cos ^2}\alpha  – {\sin ^2}\alpha \\ = {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  – 2{\sin ^2}\alpha  = 1 – 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}a – 1\end{array}\)

\(\tan 2\alpha  = \tan \left( {\alpha  + \alpha } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \alpha }}{{1 – \tan \alpha .\tan \alpha }} = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\)

Thực hành 2

Tính \(\cos \frac{\pi }{8}\) và \(\tan \frac{\pi }{8}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức

\(\begin{array}{l}\cos 2a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1 = 1 – 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}cos\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = 2co{s^2}\frac{\pi }{8} – 1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow co{s^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt 2  + 2}}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow cos\frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{\sqrt 2  + 2}}{4}}  = \frac{{\sqrt {\sqrt 2  + 2} }}{2}\) (vì \(0 < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{2}\))

Ta có:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{2\tan \frac{\pi }{8}}}{{1 – {{\tan }^2}\frac{\pi }{8}}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 – {\tan ^2}\frac{\pi }{8} = 2\tan \frac{\pi }{8}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}\frac{\pi }{8} + 2\tan \frac{\pi }{8} – 1 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{8} =  – 1 + \sqrt 2 \)(vì \(0 < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{2}\))

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) \(\cos \left( {\alpha  – b} \right)\) và \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\);

b) \(\sin \left( {\alpha  – \beta } \right)\)và \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  – b} \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha sin\beta \\\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  – \sin \alpha sin\beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  – \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  – \cos \alpha sin\beta \\\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha sin\beta \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a,

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  – b} \right) + \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha sin\beta  + \cos \alpha \cos \beta  – \sin \alpha sin\beta \\ = 2\cos \alpha \cos \beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  – b} \right) – \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha sin\beta  – \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha sin\beta \\ = 2\sin \alpha sin\beta \end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  – \beta } \right) – \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta  – \cos \alpha sin\beta  – \sin \alpha \cos \beta  – \cos \alpha sin\beta \\ =  – 2\cos \alpha sin\beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  – \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta  – \cos \alpha sin\beta  + \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha sin\beta \\ = 2\sin \alpha \cos \beta \end{array}\)

Thực hành 3

Tính giá trị của các biểu thức\(\sin \frac{\pi }{{24}}\cos \frac{{5\pi }}{{24}}\) và \(\sin \frac{{7\pi }}{8}\sin \frac{{5\pi }}{8}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right)} \right]\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{24}}\cos \frac{{5\pi }}{{24}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{{24}} + \frac{{5\pi }}{{24}}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{{24}} – \frac{{5\pi }}{{24}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{1}{2}} \right] = \frac{{\sqrt 2  – 1}}{4}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \frac{{7\pi }}{8}\sin \frac{{5\pi }}{8} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{7\pi }}{8} – \frac{{5\pi }}{8}} \right) – \cos \left( {\frac{{7\pi }}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) – \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 0} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 4

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác \(\alpha  = \frac{{\alpha  + \beta }}{2},\beta  = \frac{{\alpha  – \beta }}{2}\) ta được đẳng thức nào?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right)} \right]\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha \cos \beta  = \cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  – \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2} + \frac{{\alpha  – \beta }}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2} – \frac{{\alpha  – \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \alpha  + \cos \beta } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \alpha \sin \beta  = \sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha  – \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2} – \frac{{\alpha  – \beta }}{2}} \right) – \cos \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2} + \frac{{\alpha  – \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \beta  – \cos \alpha } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \beta  = \sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha  – \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2} + \frac{{\alpha  – \beta }}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2} – \frac{{\alpha  – \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\sin \alpha  + \sin \beta } \right)\end{array}\)

Thực hành 4

Tính \(\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \frac{\pi }{{12}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức

\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a – b}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \frac{\pi }{{12}} = 2\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{{12}} + \frac{\pi }{{12}}}}{2}\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{{12}} – \frac{\pi }{{12}}}}{2}\\ = 2.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Vận dụng

Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \), từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(OA = OB = 120:2 = 60\)

Xét tam giác OBB’ có:

\(\sin \widehat {BOB’} = \frac{{BB’}}{{OB}} = \frac{{27}}{{60}} = \frac{9}{{20}}\)

\(\widehat {AOC} = 2\widehat {BOB’}\)

(Vì số đo cung AC gấp 2 lần số đo cung AB)

Xét tam giác OCC’ vuông tại C’ có:

\(\begin{array}{l}\sin \widehat {COC’} = \frac{{CC’}}{{OC}}\\ \Leftrightarrow CC’ = OC.\sin \widehat {COC’} = OC.\sin \left( {2\widehat {BOB’}} \right)\end{array}\)

Mà \(\sin \left( {2\widehat {BOB’}} \right) = 2.\sin \widehat {BOB’}.cos\widehat {BOB’}\)

\( = 2.\frac{9}{{20}}.\frac{{\sqrt {319} }}{{20}} = \frac{{9\sqrt {319} }}{{400}}\)

Vậy khoảng cách từ C đến AH là \(60.\frac{{9\sqrt {319} }}{{200}} \approx 48,2cm\).